2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матан: добиться непрерывности ("итерирование ядра")
Сообщение01.05.2012, 21:26 


15/01/09
549
У меня есть функция $f(x,y)$ вида
$$
   f(x,y) = \frac{h(x,y)}{|x-y|^{\alpha}}
$$
где $x$, $y$ из некоторого компакта $D \subset \mathbb{R}^{n}$, а $h$ непрерывна. Будем итерировать функцию $f(x,y)$:
$$
   f^{*1}(x,y) = \int\limits_{D} f(x,\xi) f(\xi,y) \, d\xi, \;\;\; \ldots, \;\;\;
   f^{*(n+1)}(x,y) = \int\limits_{D} f^{*n}(x,\xi) f(\xi,y) \, d\xi
$$
Как посчитать наименьшее число итераций $n$ за которое, можно добиться непрерывности функции $f^{*n}(x,y)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан: добиться непрерывности ("итерирование ядра")
Сообщение02.05.2012, 02:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Это поможет?

http://www.encyclopediaofmath.org/index ... ingularity

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан: добиться непрерывности ("итерирование ядра")
Сообщение02.05.2012, 10:35 


15/01/09
549
Да, спасибо большое. Вообще интересно для интеграла
$$
   g(y,z) = \int\limits_{D} f(x,y,z) \, dx
$$
где $D$ компакт в $\mathbb{R}^n$ оценить скорость роста в точках $y=z$, если у $f$ единственная неинтегрируемая особенность в точках $x=y=z$. Подскажите, пожалуйста, какую-нибудь литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан: добиться непрерывности ("итерирование ядра")
Сообщение02.05.2012, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Первое, что приходит в голову, --- заменить все коэффициенты при сингулярностях на константы (т. е. в первом примере взять $h(x,y)=1$) и посчитать руками. Поправка будет иметь сингулярность меньшего порядка. Более честно было бы заменять $h(x,y)$ не на 1, а на $g(x)$, но замена $1$ на $g(x)$ --- это умножение на функцию уже после интегрирования.

Все результаты, скорее всего, получаются, если рассматривать конкретные типы сингулярностей.

О литературе: такие интегралы используются в классических теоремах вложения Соболева. Самая техническая книжка по этой теме --- это Бесов, Ильин, Никольский "Интегральные представления функций и теоремы вложения", там попутно есть многие свойства таких интегралов. Есть еще книжка Красносельский и еще кто-то, "Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций".

Следующий шаг --- это, видимо, Стейн, "Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций", там есть еще более тонкие свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матан: добиться непрерывности ("итерирование ядра")
Сообщение02.05.2012, 16:51 


15/01/09
549
Спасибо, буду смотреть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group