2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение13.01.2007, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Наверное, интересно услышать мнение и рассуждение автора задачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2007, 23:56 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вообще то есть разница. При совпадении определителя, матрицы совпадают с точностью до произвольной перестановки строк и произвольной перестановки (не обязательно совпадающей) перестаноки столбцов (с суммарной нулевой чётностью) и транспонирования.
При совпадении характеристической функции одна и та же перестановка и ддя строк и для столбцов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 00:33 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
RIP писал(а):
Артамонов Ю.Н.
Для простоты рассмотрим $n=3$. Рассматриваются матрицы вида
$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},$$
где $a_{ij}$ - перестановка букв $x_1,\ldots,x_9$. Тогда $\det(A-\lambda E)$ - функция от $x_1,\ldots,x_9,\lambda$

Именно так. Элементами матрицы являются переменные, а не числа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Еще один более или менее очевидный факт. Пусть мы зафиксировали диагональ (тем самым устаканив перестановки). Тогда из равенства определителей следует, что с точностью до перестановок $a_{ij} \leftrightarrow a_{ji}$ матрицы совпадают (такое вот супертранспонирование). И, как только мы можем выбрать $i \not = j \not = k$, мы фиксируем всю матрицу (с точностью до транспонирования).

Поскольку выбрать мы можем при $n \geq 3$, а при $n \leq 2$ все очевидно, то утверждение maxalа верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Насколько я понял, рассматриваются матрицы размера $n\times n$ элементами которых являются переменные из $\{x_{11},x_{12},\ldots,x_{nn}\}$, причем каждая переменная всречается ровно 1 раз. Пусть $M$ --- множество всех таких матриц. Каждой матрице $A$ из $M$ соответствует характеристический полином $\chi_A(\lambda)$.

Требуется доказать, что если для двух матриц $A,B\in M$ выполняется равенство $\chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda)$, то $B=(PAP^{-1})^{t^{\varepsilon}}$, где $P$ --- некотрая матрица перестановки (т.е. полученная из единичной матрицы перестановкой столбцов (строк)), а $\varepsilon\in\{0,1\}$ (здесь предполагается, что $A^{t^1}=A^t$ --- обычное транспонирование, а $A^{t^0}=A$). Если я что-то понял не так, maxal, пожалуйста, поправьте меня.

Похоже, что верно более сильное утверждение.
Для матриц $A$ и $B$ из $M$:
(1) $|det(A)|=|det(B)|$ если и только если $B=(PAQ)^{t^{\varepsilon}}$, где $P$ и $Q$ матрицы перестановок, а $\varepsilon\in\{0,1\}$.
(2) $|det(A)|=|det(B)|$ и $tr(A)=tr(B)$ если и только если $B=(PAP^{-1})^{t^{\varepsilon}}$, где $P$ --- матрица перестановки, а $\varepsilon\in\{0,1\}$.

Мое доказательство этих фактов не сложное, но довольно техническое. Если угодно могу привести его.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 02:55 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
lofar писал(а):
Похоже, что верно более сильное утверждение.
Для матриц $A$ и $B$ из $M$:
(1) $|det(A)|=|det(B)|$ если и только если $B=(PAQ)^{t^{\varepsilon}}$, где $P$ и $Q$ матрицы перестановок, а $\varepsilon\in\{0,1\}$.
(2) $|det(A)|=|det(B)|$ и $tr(A)=tr(B)$ если и только если $B=(PAP^{-1})^{t^{\varepsilon}}$, где $P$ --- матрица перестановки, а $\varepsilon\in\{0,1\}$.

Да, похоже, что это так. И даже относительно простое доказательство вырисовывается:
Для 1) нужно все переменные одной какой-то строки A положить равными нулю, тогда $\det(A)=0,$ но если эти переменные не образуют строку или столбец в $B,$ то $\det(B)\ne 0.$ Повторяя подобную процедуру для всех строк и столбцов матрицы $A,$ получим, что каждая(ый) из них образует строку или столбец в $B,$ а это возможно только если $B=(PAQ)^{t^{\varepsilon}}$.
2) следует из 1) совсем просто: достаточно в матрице $B$ одновременными перестановками строк и столбцов выстроить главно-диагональные элементы в порядке, задаваемом главной диагональю матрицы $A,$ но тогда из 1) следует, что полученная матрица есть либо $A$, либо $A^T.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2007, 21:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Вот еще одно интересное утверждение:

Цитата:
From: Brendan McKay <bdm@cs.anu.edu.au>

THEOREM. Let A and B be n*n matrices of the same n^2 distinct
indeterminants, each appearing once. Suppose trace(A^i)=trace(B^i)
for i=1,3,4 (don't need i=2). Then for some permutation matrix P,
either PA=BP or PA^T=BP.

(Note that these conditions are weaker than having the same
characteristic polynomial.)

PROOF. We try to reconstruct A from knowing trace(A^i) for i=1,3,4.
The value of trace(A^1) tells us which indeterminants are on the
diagonal, say x[1],x[2],...,x[n]. Permute rows and columns
equally so that x[i] is in the (i,i) position (this uses up the
possibilities for P).

Now look at trace(A^4). If there is a term x[i]*x[j]*v*w where
i <> j and v,w are non-diagonal indeterminants, then v and w must
be in positions (i,j) and (j,i) but so far we can't tell which is
which. All the non-diagonal indeterminants can be paired up in this
fashion.

The pair for positions (1,2) and (2,1) can be inserted in two ways;
choose one (this uses up the choice of PA=BP or PA^T=BP).

Finally, look at trace(A^3). The terms like a*b*c for non-diagonal
indeterminants a,b,c must have the form A[i,j]*A[j,k]*A[k,i] for
distinct i,j,k. Starting with i=1,j=2, this uniquely determines
for each (i,j),(j,i) pair which indeterminate goes in (i,j) and
which goes in (j,i). EOP

PROBLEM. Which sets of powers suffice in place of {1,3,4}?

Cheers, Brendan.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group