Объясните, что такое производная, чтобы понял школьник

[Doil-byle]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #713034 писал(а):

или в крайнем случае, постоянно морщитесь

Я предпочитаю ругаться вслух, если никто не слышит.

Munin в сообщении #713034 писал(а):

Кроме того, что вы начинаете говорить на другом языке

Нужно быть толерантным к людям, говорящим на других языках=)

Munin в сообщении #713034 писал(а):

и ещё вы всех достаёте своим занудством и никчёмными требованиями.

А вот это лечится амбулаторно и в кратчайшие сроки, проверял на себе лично в 10 классе.

arseniiv в сообщении #713297 писал(а):

Там же не определение, а кусок системы обозначений.

Я думал, что такое обозначение подразумевает под собой строгое определение функции - типа, раз мы пишем ещё и $f$, а не только $f(x)$, то нам уже недостаточно понимания функции, как "правила", ставящего значение в соответствие аргументу. Впрочем, забейте

[arseniiv]

(2 Doil-byle.)

Doil-byle в сообщении #713341 писал(а):

типа, раз мы пишем ещё и $f$, а не только $f(x)$, то нам уже недостаточно понимания функции, как "правила", ставящего значение в соответствие аргументу

$f$ — это переменная. Почему бы ей значением не иметь правило?

Doil-byle в сообщении #713341 писал(а):

Впрочем, забейте

Ага.

[ewert]

Capataz в сообщении #713336 писал(а):

По Вашему получается, что оно и сейчас ублюдочно. Уж коль в ВУЗах возвращаются к изучению производных и интегралов, значит в школе всё было упрощено. Или я не так понял?

Вы всё правильно поняли -- или, что эквивалентно, всё неправильно.

Я не помню, были ли в советские времена в школах (стандартных) производные. В физматшколах -- безусловно, в те времена были, и на безусловно грамотном уровне. В наше время -- безусловно, есть и в обычных школах, и на уровне безусловно безграмотном. Я это знаю, поскольку в школе я хоть никогда и не работал, но вёл несколько лет назад занятия на подготовительных курсах, и твёрдо помню, как детишки обращались ко мне с вопросами по поводу разных физических задачек (в нашей математической программе производных предусмотрительно не было), и когда я ставил им контрольные вопросы типа "а что это такое"? -- они с уверенностью отвечали типа "а это такая закорючка, которая в табличке".

Поэтому скажу так. В советские времена на первом курсе производные изучались тщательно, скорее всего, потому, что в школе они вовсе не изучались (мы, во всяком случае, на это точно не полагались). В демократические -- на 1-м курсе изучаются тем более, и не только по инерции, но и потому, что в демократические времена надеяться на школу попросту бессмысленно.

[Doil-byle]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #713356 писал(а):

$f$— это переменная. Почему бы ей значением не иметь правило?

По мне так $f$ - это функция и есть. То есть, например, $f=\{(u,v):u \in \mathbb{R} \wedge v=u^2\}$

[arseniiv]

(2 Doil-byle.)

Это смотря откуда смотреть, из теории или метатеории. Может быть теория с равенством, у которой есть термы, означающие для нас правила. Тогда в ней может быть формула $f=\langle\text{терм, обозначающий правило}\rangle$. Вот возьмите, например, $\lambda$-исчисление — многие его термы можно понимать как правила вычисления.

[Shtorm]

ewert в сообщении #713360 писал(а):

Я не помню, были ли в советские времена в школах (стандартных) производные.

Были. Я учился в стандартной общеобразовательной школе без всяких уклонов и спецклассов. Производные давались на "грамотном уровне". Хотя это конечно вопрос, что именно Вы под этим понимаете.

Цитата:

Поэтому скажу так. В советские времена на первом курсе производные изучались тщательно, скорее всего, потому, что в школе они вовсе не изучались (мы, во всяком случае, на это точно не полагались). В демократические -- на 1-м курсе изучаются тем более, и не только по инерции, но и потому, что в демократические времена надеяться на школу попросту бессмысленно.

Давайте скажем проще. Как бы не преподавались производные в советские времена и в первые демократические годы, в любом случае они были и в школьной учебной программе и в вузовской (если речь не шла о гуманитарном классе и гуманитарном факультете). В обычной школьной программе не было производных обратных тригонометрических функций, не было производных неявно заданных функций, логарифмического дифференцирования, производной параметрически заданной функции, дифференциала. Поскольку в вузовской программе это все есть - то соответственно заново приходится проходить производную, начиная с определения, геометрического и механического смысла и т.д.

[Doil-byle]

(arseniiv)

Вам засчитывается метапобеда: я, к своему безграничному стыду, не знаю $\lambda$-исчисление, хотя в общих чертах представляю, о чём Вы говорите. Кстати, по тому, что я заметил Вы вообще любите лямбда-исчисление и Хаскель

[ewert]

Shtorm в сообщении #713393 писал(а):

В обычной школьной программе не было производных обратных тригонометрических функций, не было производных неявно заданных функций, логарифмического дифференцирования, производной параметрически заданной функции, дифференциала. Поскольку в вузовской программе это все есть -

Не так. Это всё нюансы. В вузовской программе (по сравнению со стандартной школьной, не с физматовской) акцент вовсе не на табличку производных, и не на периферийные вопросы типа логарифмического дифференцирования и прочие трюкачества, а -- на точное определение производной и смежные вопросы, начиная с теоремы Ролля (именно как теоремы) и далее до Тейлора.

Конечно, в технических вузах все эти теоремы всегда носили несколько жульнический характер, поскольку вещественных чисел никто и никогда аккуратно не излагал, а без них какая уж там строгая теория. Однако это жульничество всегда было жёстко локализовано: допустим, точного определения у нас нет; но ведь интуитивно вы все всё это представляете -- ну и прекрасно, а теперь пойдём дальше уже аккуратно. И это всех, в общем, устраивало; ну нельзя же наводить математическую строгость до абсурда, в конце-то концов.

Сейчас же не то. Сейчас всё оптимизируется на несколько порядков выше. Сейчас по новым рабочим программам считается, например, допустимым изложить все дифуры за две лекции. Вам смешно, да?... Мне -- не особенно. Вот прямо сейчас мне приходится читать курс матфизики (сам по себе анекдотичный -- два часа в неделю) орлам, которые в аварийном порядке прослушали те две нищастные лекции по дифурам и, естественно, ничего из них не извлекли. Вам смешно, да?...

[arseniiv]

(2 Doil-byle.)

Хи-хи.

Спасибо. Я пока считаю, что тоже представляю его в довольно общих чертах, не почитав ещё Барендрегта.

И не стоит «безграничному стыду». Стоит, в чём со многими согласен, стремиться оценивать, где находится граница.

[_Ivana]

Цитата:

Вам смешно, да?...

Не могу назвать это смехом, но яркий эмоциональный отклик начался еще вчера, с этого монолога

Shtorm в сообщении #712883 писал(а):

Но видели бы Вы моих студентов, они у меня не физики и не математики (по направлению подготовки и специальности). А приходят ко мне, в основном, выпускники гуманитарных классов. А занятия так идут: одна лекция в неделю и одна практика в неделю. А пройти надо отнють не одну только производную.

[Capataz]

ewert в сообщении #713360 писал(а):

Вы всё правильно поняли -- или, что эквивалентно, всё неправильно.

Чувствуется педагогическая сила великого преподавателя. Ваша лаконичность просто умиляет.

ewert в сообщении #713360 писал(а):

В советские времена на первом курсе производные изучались тщательно, скорее всего, потому, что в школе они вовсе не изучались (мы, во всяком случае, на это точно не полагались). В демократические -- на 1-м курсе изучаются тем более, и не только по инерции, но и потому, что в демократические времена надеяться на школу попросту бессмысленно.

Да изучались производные в школе в советские времена, изучались. И в ВУЗах тоже изучались, но сравнительно гораздо глубже. Сам всё прошёл. Учебник 9-10кл. назывался "Алгебра и начало анализа" И чтож у Вас всё так грустно то? В советские - не полагались, сейчас - надеяться попросту бессмысленно. Может совсем математику списать из старших классов? Зачем зря детей мучить? Или может лучше методику преподавания изменить?

[Munin]

(Doil-byle и arseniiv)

Doil-byle в сообщении #713341 писал(а):

Нужно быть толерантным к людям, говорящим на других языках=)

Я толерантен к людям, но говорить с ними не могу, и не могу радоваться этому факту (а не людям).

Doil-byle в сообщении #713341 писал(а):

А вот это лечится амбулаторно и в кратчайшие сроки

Ну, очень хорошо, если так. Просто не у всех излечено, даже наоборот, у большинства нет.

Doil-byle в сообщении #713341 писал(а):

Я думал, что такое обозначение подразумевает под собой строгое определение функции - типа, раз мы пишем ещё и $f$, а не только $f(x)$

Я обычно пишу $f\colon A\to B,$ когда никто не видит. Когда в центре внимания именно функция. А когда пишу $f(g),$ то в центре внимания у меня - величина $f$ (и величина $g$), и надо пояснять рядом, например, словами, что "$f$ - это ..., $g$ - это ...", а функциональная зависимость между ними - просто факт, относящийся к этим величинам (могла бы быть и другая зависимость, или корреляция, или отсутствие связи вообще).

arseniiv в сообщении #713356 писал(а):

$f$ — это переменная. Почему бы ей значением не иметь правило?

Ну вот, доигрались. Любой символ - уже почему-то переменная. А 2 у вас тоже переменная?

В физике обычно речь идёт о какой-то конкретной $f,$ например, $h(t).$ И почему это она вдруг - переменная, имеющая значение - правило? Она в этом смысле постоянная, других правил ей быть присвоено не может, и данное правило не меняется. Она в этом смысле подобна 2, а не $x.$

[arseniiv]

(2 Munin.)

Munin в сообщении #713501 писал(а):

Ну вот, доигрались. Любой символ - уже почему-то переменная. А 2 у вас тоже переменная?

А, ну да, есть константы. Забыл о них что-то. $f$ может быть и константой. Вообще, в этих оффтопах я уже не собирался навязывать обозначения, а дальше так просто отвечаю.

[Shtorm]

Capataz в сообщении #713435 писал(а):

Может совсем математику списать из старших классов? Зачем зря детей мучить? Или может лучше методику преподавания изменить?

В общем потоке, в основном математически малограмотных абитуриентов, попадаются те, кто окончил физмат класс, физмат лицей, школу с углубленным изучением математики, а также те, у которых учитель по математике был выдающейся личностью, а также те, кто усиленно занимался с репетитором и т.д. и т.п. Эти молодые люди - подобны алмазам, распределённым по просторам якутской тайги, которых мало и найти трудно, но если нашёл - то много радости обретёшь! Так и у меня, эти студенты вытягивают за собой всю группу и всегда есть на кого опереться, когда задачка сложней, чем просто подставить в одну формулу и посчитать.
И опыт показывает, почти все (за редким редким исключением) студенты, которые плохо изучали математику в школе - ничего или почти ничего не понимают в преподаваемых разделах Высшей математики в вузе. И даже не стараются понять.

[ewert]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #713735 писал(а):

Эти молодые люди - подобны алмазам, распределённым по просторам якутской тайги,

У нас когда-то были группы, извлечённые из тайги вот как раз якутской. И наблюдалась странная закономерность. Гениальных среди них не наблюдалось (да это и естественно), но вот умненьких -- было большинство.

В первом семестре.

Дальше же -- от семестра к семестру уровень неуклонно снижался.

И это не только к якутам относится, но и вообще к выходцам из Сибири.

К нашим аборигенам -- нет. Они на каком уровне бывали -- на таком (в среднем) и оставались. Кто на привычном для себя высоком, кто на привычном низком. Сибиряки же склонны почему-то у нас деградировать.

Как Вы думаете, чем это обусловлено?.. или у меня это просто аберрация?...