2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальные формы, криволинейные координаты
Сообщение29.04.2012, 22:33 
Заслуженный участник


29/04/12
268
Учу диф. формы по 2-му тому Зорича. Есть непонятки.

Изображение

1. Почему базисные векторы в $T\mathbb R^3_t$ и $T\mathbb R^3_x$ обозначаются одинаково: $\xi_i$?

2. Как получилось, что $\xi_i(x)=\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$? Зорич не объяснил, а я сама не поняла: что вообще такое $\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы, криволинейные координаты
Сообщение30.04.2012, 15:59 
Заслуженный участник


29/04/12
268
Пусть диффеоморфизм $\varphi:(x,y)\mapsto (r,\varphi)$ -- переход к полярным координатам. Векторы $\partial_x$, $\partial_y$ (производные по $x,y$) являются базисом в касательном пространстве любой точки из области определения. Верно ли, что при изоморфизме $d\varphi$ им будут соответствовать производные $\partial_r$, $\partial_\varphi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы, криволинейные координаты
Сообщение03.05.2012, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Цитата:
1. Почему базисные векторы в $T\mathbb R^3_t$ и $T\mathbb R^3_x$ обозначаются одинаково: $\xi_i$?
Неудачное обозначение.

Цитата:
2. Как получилось, что $\xi_i(x)=\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$? Зорич не объяснил, а я сама не поняла: что вообще такое $\dfrac{\partial \varphi(t)}{\partial t^i}$?
Ну как же. $\varphi$ --- векторная функция. Можно брать частные производные по разным аргументам и получать какие-то векторы. Они будут касательными к координатным линиям, например, $\frac{\partial\varphi}{\partial t^{1}}$ в точке $(c^1,c^2,c^3)$ будет касательным к линии $\varphi(t^1, c^2, c^3)$.

lena7 в сообщении #565845 писал(а):
Пусть диффеоморфизм $\varphi:(x,y)\mapsto (r,\varphi)$ -- переход к полярным координатам. Векторы $\partial_x$, $\partial_y$ (производные по $x,y$) являются базисом в касательном пространстве любой точки из области определения. Верно ли, что при изоморфизме $d\varphi$ им будут соответствовать производные $\partial_r$, $\partial_\varphi$?
Тут какая-то путаница. Производные по координатам являются элементами не касательного, а кокасательного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы, криволинейные координаты
Сообщение03.05.2012, 16:42 
Заслуженный участник


29/04/12
268
Xaositect в сообщении #566879 писал(а):
Производные по координатам являются элементами не касательного, а кокасательного пространства.

Это ставит под вопрос всю мою концепцию реальности... Я точно где-то читала, что касательные векторы отождествляются с производными по направлению (типа $\partial_x$), а элементы из кокасательного пространства -- уже дифференциалы, 1-формы (типа $dx$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы, криволинейные координаты
Сообщение03.05.2012, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Упс, прошу прощения. Все действительно так, как Вы говорите, это меня глючит.

-- Чт май 03, 2012 18:12:16 --

Если рассмотреть переход к полярным координатам, то есть диффеоморфизм области параметров $(r,\varphi)$ в область плоскости $(x,y)$, то векторам $\frac{\partial}{\partial r}$ и $\frac{\partial}{\partial \varphi}$ в касательном пространстве в исходной точке соответствуют векторы в касательном пространстве в точке плоскости, которые обобзначаются так же и выражаются через базис $\frac{\partial}{\partial x}$ и $\frac{\partial}{\partial y}$ с помощью якобиана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы, криволинейные координаты
Сообщение04.05.2012, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951

(Оффтоп)

Что-то много развелось нынче девушек, изучающих дифференциальную геометрию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group