2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение21.05.2012, 20:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #574151 писал(а):
Свели к некоторому уравнению Туэ?

К конечному числу таковых. Над сведением ломал голову целый день. Уравнения Туэ - это такой молоток, которым многие задачи можно раздолбать (например, конечноть чисел Фибоначчи вида $n^2+1$). Буду писать продолжение своей статьи на эту тему...
maxal в сообщении #573689 писал(а):
Единственное возможное исключение: равнобедренные и равносторонние треугольники вида $(F_n,F_n,F_{n+1})$ и $(F_n,F_n,F_n)$.

Оказывается, я самый важный случай пропустил: $(F_{n-k},F_n,F_n)$ - вокруг которого открытая проблема собственно и стоит (другие доказано невозможны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение21.05.2012, 23:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
scwec в сообщении #573740 писал(а):
Вообще, задача о нахождении всех героновых треугольников с длинами сторон, которые равны числам Фибоначчи, сводится к решению уравнения
$F_{n-2}(F_n+F_{n+2})=y^2$.

А как вы так лихо свели, да еще с всего лишь одним параметром $n$?
Наличие треугольника $(F_{n-k},F_n,F_n)$ подразумевает уравнение $4 F_n^2 - F_{n-k}^2 = 4y^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение22.05.2012, 06:53 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Так и я его пропустил.
Но все же $(F_5,F_5,F_6)$. Это о доказанной невозможности других.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение22.05.2012, 07:59 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
scwec в сообщении #574460 писал(а):
Так и я его пропустил.
Но все же $(F_5,F_5,F_6)$. Это о доказанной невозможности других.

Так это единственное исключение. Все другие должны быть вида $(F_{n-k},F_n,F_n)$. См.
Non-existence of Fibonacci triangles
и
Further nonexistence of Fibonacci triangles

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение24.05.2012, 09:11 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
maxal в сообщении #574315 писал(а):
К конечному числу таковых. Над сведением ломал голову целый день. Уравнения Туэ - это такой молоток, которым многие задачи можно раздолбать (например, конечноть чисел Фибоначчи вида $n^2+1$). Буду писать продолжение своей статьи на эту тему...

По существу я научился искать (спасибо Туэ) целые точки на биквадратных кривых вида:
$$ay^2 = bx^4 + cx^2 + d$$
Как я уже сказал, к таким кривым сводится поиск чисел Фибоначчи вида $p\cdot n^2 + q$ для фиксированных $p,q$. (в частности, упомянутое выше уравнение).

Какие другие интересные задачи сводятся к таким кривым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение24.05.2012, 13:31 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
В соседней теме при рассмотрении уравнения $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$ возникло уравнение
$z^2=V^4-2(u^2-2u+2)V^2+(u^4-4u^3+4u^2+1)$, где $u$ - целое число.
Может, подойдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение24.05.2012, 13:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
scwec в сообщении #575568 писал(а):
В соседней теме при рассмотрении уравнения $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$ возникло уравнение
$z^2=V^4-2(u^2-2u+2)V^2+(u^4-4u^3+4u^2+1)$, где $u$ - целое число.
Может, подойдет.

Для каждого фиксированного $u$ пойдет, а так - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение24.05.2012, 13:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec, здесь коэффициенты при $V^4$ и $u^4$ --- точные квадраты. Это вроде как тривиальный случай для упомянутой выше биквадратной кривой.

-- Чт май 24, 2012 17:42:41 --

maxal в сообщении #575574 писал(а):
Для каждого фиксированного $u$ пойдет ...
Можно с тем же успехом зафиксировать $V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение24.05.2012, 13:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #575575 писал(а):
Можно с тем же успехом зафиксировать $V$.

При фиксированном $V$ кривая будет необязательно биквадратной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение24.05.2012, 13:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #575578 писал(а):
При фиксированном $V$ кривая будет необязательно биквадратной.
Это да, но найти все пары $(u,z)$ всё равно можно будет легко. Но при произвольном $V$ это проделать ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение24.05.2012, 14:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Я вот думаю, (раз уж здесь встряло это уравнение $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$), если воспользоваться тем, что $(x^2-1)(y^2-1)=(xy+1)^2-(x+y)^2$, то получается уже рассмотренное в другом месте $z^2+(x+y)^2-(xy+1)^2=1$.
По моему общего решения для $u^2+v^2-w^2=1$ так и не было найдено. Если бы оно было, то через него и решение исходного уравнения известно.
Или я ошибаюсь, и соответствующая параметризация существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение25.05.2012, 00:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
scwec в сообщении #575591 писал(а):
Я вот думаю, (раз уж здесь встряло это уравнение $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$), если воспользоваться тем, что $(x^2-1)(y^2-1)=(xy+1)^2-(x+y)^2$, то получается уже рассмотренное в другом месте $z^2+(x+y)^2-(xy+1)^2=1$.
По моему общего решения для $u^2+v^2-w^2=1$ так и не было найдено. Если бы оно было, то через него и решение исходного уравнения известно.
Или я ошибаюсь, и соответствующая параметризация существует?

Ну, во-первых, вы квадраты в $x+y$ потеряли. А, во-вторых, параметризация существует, но рациональная. Извлечь из нее целые значения будет проблематично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение25.05.2012, 07:22 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
maxal в сообщении #575930 писал(а):
scwec в сообщении #575591 писал(а):
Я вот думаю, (раз уж здесь встряло это уравнение $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$), если воспользоваться тем, что $(x^2-1)(y^2-1)=(xy+1)^2-(x+y)^2$, то получается уже рассмотренное в другом месте $z^2+(x+y)^2-(xy+1)^2=1$.
По моему общего решения для $u^2+v^2-w^2=1$ так и не было найдено. Если бы оно было, то через него и решение исходного уравнения известно.
Или я ошибаюсь, и соответствующая параметризация существует?

Ну, во-первых, вы квадраты в $x+y$ потеряли. А, во-вторых, параметризация существует, но рациональная. Извлечь из нее целые значения будет проблематично.


Смотрю и в упор не вижу, чего я потерял.
А параметризация, конечно, имелась в виду целая.
Но полную, согласен, получить, может, и невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение02.06.2012, 18:12 


24/04/10
88
DjD USB в сообщении #573680 писал(а):
Поэтому таких треугольников нет.
В противном случае остаются равнобедренный и равносторонний треугольники.


Равносторонний треугольник - не героновый, его площадь иррациальная.

scwec

По моему общего решения для ${\text{u}}^2  + v^2  - w^2  = 1$ так и не было найдено. Если бы оно было, то через него и решение исходного уравнения известно.


Общее решение уравнения ${\text{u}}^2  + v^2  - w^2  = 1.$



После преобразования уравнения, имеем:
$${\text{u}}^2  - 1 = w^2  - v^2 ,{\text{u}}^2  - 1 = r^n  = w^2  - v^2 ,$$
$${\text{u}}^2  - 1 = \Psi _1^n \Psi _2^n  = r^n  = Q_1^n Q_2^n  = w^2  - v^2 ,$$
$$1.\left\{ \begin{gathered}  {\text{u}} - {\text{1 = }}\Psi _{\text{1}}^{\text{n}}  \hfill \\  {\text{u + 1 = }}\Psi _{\text{2}}^{\text{n}}  \hfill \\ \end{gathered}  \right.,u = \frac{{\Psi _{\text{2}}^{\text{n}}  + \Psi _{\text{1}}^{\text{n}} }}
{{\text{2}}},1 = \frac{{\Psi _{\text{2}}^{\text{n}}  - \Psi _{\text{1}}^{\text{n}} }}{{\text{2}}},$$
при ${\text{n}} \geqslant {\text{2 }}{\text{, }}\frac{{\Psi _{\text{2}}^{\text{n}}  - \Psi _{\text{1}}^{\text{n}} }}
{{\text{2}}} \ne 1,$ следоватеьно $n = 1,u = \frac{{\Psi _2^1  + \Psi _{\text{1}}^{\text{1}} }}{{\text{2}}},1 = \frac{{\Psi _2^1  - \Psi _{\text{1}}^{\text{1}} }}{{\text{2}}},$ где $\Psi _2  = \Psi _1 {\text{ + 2 }}{\text{, }}\Psi _1  - $ произвольное целое число, $r^n  - $ уравнительный одночлен,

$$2.\left\{ \begin{gathered}  w - v{\text{ =  Q}}_{\text{1}}  \hfill \\
  {\text{w  +  v  =  Q}}_{\text{2}}  \hfill \\ \end{gathered}  \right.,w = \frac{{Q_2  + Q_1 }}{{\text{2}}},v = \frac{{Q_2  - Q_1 }}{{\text{2}}},$$

где ${\text{Q}}_{\text{1}} {\text{, Q}}_{\text{2}}  - $ одинаковой чётности, получаемые факторизацией ${\text{r  = }}\Psi _1 \Psi _2  = \Psi _1 \left( {\Psi _1  + 2} \right).$

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение02.06.2012, 18:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
То есть, взяв произвольное целое $u$, разложим $u^2-1$ в произведение двух сомножителей одинаковой чётности, после чего по ним найдём $v$ и $w$. Зачем нужна эта груда формул? Тем более, что этот банальный алгоритм не решает поставленной задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group