Собственные числа и собственные подпространства

[silas]

Затрудняюсь с решением.Нужно найти Собственные числа и собственные подпространства матрицы А.Диаганализировать ёё

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}\\4\\4\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\8\\{14}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{18}\\{ - 8}\\{ - 14}\end{array}}\end{array}} \right)
Cобственные числа и собственные вектора получились такие:


${\lambda _1}^{_{}} = 0 $ ${f_1} = \left( \begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}\right)$
${\lambda _2}^{_{}} = -4$ ${f_2} = \left( \begin{array}{l}-1\\ 1\\ 1\end{array} \right)$


${\lambda _3}^{_{}} = -6$ ${f_3} = \left( \begin{array}{l}-1/3\\ 2/3\\ 1\end{array} \right)$


Матрица X , составленная из них:


X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}&\begin{array}{l}- 1\\1\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1/3\\2/3\\1\end{array}\end{array}} \right)


Диаганализируемая матрицы


{X^{ - 1}}AX = \left( \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 4}&0\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}0&0&{ - 6}\end{array}\end{array} \right)

Всё правильно ??? А как найти собственные подпространства?


Так?


{F_1} = \ell \left\{ {\left( \begin{array}{l}0\\1\\1\end{array} \right)} \right\}


{F_2} = \ell \left\{ {\left( \begin{array}{l} - 1\\1\\1\end{array} \right)} \right\}

{F_3} = \ell \left\{ {\left( \begin{array}{l}- 1/3\\2/3\\1\end{array} \right)} \right\}

[alcoholist]

silas в сообщении #556955 писал(а):

${\lambda _1}^{_{}} = 0 $ ${f_1} = \left( \begin{array}{l}0\\1\\1\end{array}\right)$

неправда

-- Пт апр 06, 2012 12:49:25 --

silas в сообщении #556955 писал(а):

${\lambda _2}^{_{}} = -4$ ${f_2} = \left( \begin{array}{l}-1\\ 1\\ 1\end{array} \right)$

неправда

-- Пт апр 06, 2012 12:51:36 --

silas в сообщении #556955 писал(а):

${\lambda _3}^{_{}} = -6$ ${f_3} = \left( \begin{array}{l}-1/3\\ 2/3\\ 1\end{array} \right)$

неправда

-- Пт апр 06, 2012 12:58:14 --

вынесите общий множитель из матрицы -- легче будет считать

[ewert]

silas в сообщении #556955 писал(а):

Так?


${F_1} = \ell \left\{ {\left( \begin{array}{l}0\\1\\1\end{array} \right)} \right\}$

Почти, только это бессмысленная запись: числовой множитель должен стоять внутри фигурных скобок.

Ну и собственные числа/векторы, конечно, найдены действительно неверно.

[silas]

Вот на самом деле какая матрица, я для неё считал

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}\\4\\4\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\8\\{14}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 8}\\{ - 14}\end{array}}\end{array}} \right)

-- 06.04.2012, 14:22 --

ewert в сообщении #556974 писал(а):

silas в сообщении #556955 писал(а):

Так?


${F_1} = \ell \left\{ {\left( \begin{array}{l}0\\1\\1\end{array} \right)} \right\}$

Почти, только это бессмысленная запись: числовой множитель должен стоять внутри фигурных скобок.

Ну и собственные числа/векторы, конечно, найдены действительно неверно.

Ну на самом деле знак \ell означает у меня линейную оболочку . Это неверно?

[alcoholist]

ewert в сообщении #556974 писал(а):

числовой множитель должен стоять внутри фигурных скобок

это не числовой множитель))) $\ell\{\cdot\}$ -- символ линейной оболочки

-- Пт апр 06, 2012 13:25:26 --

silas в сообщении #556976 писал(а):

Ну на самом деле знак \ell означает у меня линейную оболочку . Это неверно?

это просто обозначения... Нормально

[silas]

Так линейная оболчка каждого вектора это и есть соб.подпространства?

[ewert]

alcoholist в сообщении #556977 писал(а):

это не числовой множитель))) $\ell\{\cdot\}$ -- символ линейной оболочки

Ну тогда допустим (никогда такого не видел, или не припомню).

silas в сообщении #556980 писал(а):

Так линейная оболчка каждого вектора это и есть соб.подпространства?

А что такое собственное подпространство -- по определению?...

[silas]

Ker\left( {A - \lambda I} \right)???

[alcoholist]

silas в сообщении #556992 писал(а):

Ker\left( {A - \lambda I} \right)???

Откуда какая-то лямбда?

[silas]

ker\left( {A - \mu I} \right)-может это и не совсем то ,
но

silas в сообщении #556980 писал(а):

Так линейная оболчка каждого вектора это и есть соб.подпространства?

???

[svv]

Раз вопрос повторяется, значит, в определение собственного подпространства так и не заглянули. Иначе бы знали, что не "собственное подпространство вектора", а ...
Пожалуйста, приведите определение.

[silas]

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех собственных векторов$ x \in L$ , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его $E_{\lambda}$ . По определению,

$E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)$

где E — единичный оператор.
фром Википедия.


Это оно?

[ewert]

silas в сообщении #557074 писал(а):

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех собственных векторов$ x \in L$ , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором)

Это правда. А по определению любое (под)пространство вообще, если оно конечномерно, разумеется, -- является линейной оболочкой своего базиса. По определению базиса.

[silas]

Ох спасибо )

[Хорхе]

(Оффтоп)

silas в сообщении #556955 писал(а):

Диаганализировать ёё

Диаганализируй это.