2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение02.01.2007, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Gordmit писал(а):
Насчет асимптотики числа представлений: где можно посмотреть такие асимптотические формулы? Нет ли возможности привести их здесь?

Говоря об асимптотике, я имел в виду асимптотику в проблеме Варинга, которой посвящено много весьма неэлементарных исследований. Я не являюсь специалистом в этой области, но могу сослаться, например, на обзорную статью http://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/122/511.htm , в конце которой есть некоторые ссылки на труды по асимптотике в проблеме Варинга.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.01.2007, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Если рассмотреть формальный степенной ряд: $\sum\limits_{n\in Z}s^{n^2}=(...+s^{16}+s^9+s^4+s+1+s+s^4+s^9+s^{16}+...)$, то для ряда $(...+s^{16}+s^9+s^4+s+1+s+s^4+s^9+s^{16}+...)^k$ коэффициент при $s^N$ есть число способов представления числа N в виде суммы квадратов $k$ целых чисел с учетом порядка следования, поэтому если и есть какая-то асимптотика, нужно выражать коэффициент при $s^N, N\to \infty$. Если формальный ряд увязать с рядом Лорана и применить теорему Коши, то может что-нибудь и получится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.01.2007, 21:51 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Brukvalub писал(а):
Говоря об асимптотике, я имел в виду асимптотику в проблеме Варинга, которой посвящено много весьма неэлементарных исследований. Я не являюсь специалистом в этой области, но могу сослаться, например, на обзорную статью http://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/122/511.htm , в конце которой есть некоторые ссылки на труды по асимптотике в проблеме Варинга.
Дело в том, что асимптотика в проблеме Варинга (по Харди и Литтлвуду) выписывается в случае, если $k\geqslant(n-2)2^{n-1}+5$, где $k$ - число слагаемых, $n$ - степени, в которых эти слагаемые в сумме дают $N$ (в статье, на которую приведена ссылка, об этом говорится). При $k=n=2$ асимптотическая формула не получится, она имеет смысл при бОльших $k$ и $n$.

Вообще, мне кажется, что трудно в этом случае вообще говорить о какой бы то ни было асимптотической формуле, поскольку бесконечно много натуральных чисел не представляются в виде суммы двух квадратов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 02:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Асимптотика в проблеме Варинга выписывается и при меньших значениях $k$. Совсем просто это делается при $k>2^n$. Используя метод Виноградова оценки тригонометрических сумм, при $n\geqslant11$ оценку удается снизить. При больших $n$ асимптотика выписывается при $k>(4+\overline{\overline{o}}(1))n\ln^2n$. Подробности можно прочитать, например, в книжке Вон Р. — Метод Харди-Литтлвуда. Но при $k=n=2$ это ничего не дает. Да и так понятно, что никакой асимптотической формулы написать нельзя. Можно лишь написать неулучшаемую оценку сверху (я так думаю).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 14:59 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Интересно, кстати, отметить поведение последовательности числа представлений в виде суммы квадратов "в среднем".
А именно, если $s_m$ - число представлений числа m в виде $a^2+b^2$, $0\leqslant a\leqslant b$, то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n s_m \to \frac{\pi}{8},\quad n\to\infty.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Gordmit писал(а):
Интересно, кстати, отметить поведение последовательности числа представлений в виде суммы квадратов "в среднем".
А именно, если $s_m$ - число представлений числа m в виде $a^2+b^2$, $0\leqslant a\leqslant b$, то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n s_m \to \frac{\pi}{8},\quad n\to\infty.$$

А почему $\frac{\pi}8$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 15:05 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
RIP писал(а):
А почему $\frac{\pi}8$?
Ну это из-за того, что представления типа $a^2+b^2$ и $b^2+a^2$ считаются одинаковыми, а числа a, b неотрицательные (т.е. не добавляется вариантов с -a и -b).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Gordmit писал(а):
RIP писал(а):
А почему $\frac{\pi}8$?
Ну это из-за того, что представления типа $a^2+b^2$ и $b^2+a^2$ считаются одинаковыми, а числа a, b неотрицательные (т.е. не добавляется вариантов с -a и -b).

Ах да, не обратил внимание на $a\leqslant b$. :shock:
Моя ошибка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group