2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение баланса
Сообщение02.04.2012, 10:31 


12/09/06
617
Черноморск
Это, конечно, не физика, но иногда публикуется в физических журналах http://www.ped.fas.harvard.edu/people/f ... RevE06.pdf . Поэтому я решился поместить здесь.
Пусть есть очень большая группа людей. Эти люди могут заниматься $n$ видами деятельности (стратегии поведения). Пусть в момент времени $t$ доля людей, занятых $i$-й стратегией равна $x_i(t)$ так, что $\sum\limits_{j=1}^nx_i =1$ . $i$-я стратегия поведения приносит доход $F_i(x,t)$. Будем считать, что все в каждый момент времени знают доходы друг друга. В каждый момент люди могут менять свою стратегию на любую другую. При этом стараются выбирать ту стратегию, которая приносит больший доход. Пусть человек с $i$-й стратегией выбирает $j$-ю стратегию с вероятностью $\rho _{ij}$. Тогда в момент времени $t$ из $j$-й стратегии в $i$-ю стратегию в среднем переходит $x_j\rho _{j i}$ (в долях от целого). Уравнение баланса
$\dot x_i=\sum\limits_{j=1}^nx_j\rho _{j i}-x_i\sum\limits_{j=1}^n\rho_{i j}$
Первое слагаемое в правой части это сумма всех втекающих в $i$-ю стратегию. Второе слагаемое это сумма всех вытекающих из $i$-й стратегии ( в том числе, и оставшихся в $i$-й стратегии). Все это можно найти на стр.346 здесь http://econtheory.org/ojs/index.php/te/ ... 10341/5736 или на стр.3 здесь http://www.ssc.wisc.edu/~whs/research/ded.pdf Вопрос заключается в том, что, на мой взгляд, сумма вероятностей вытекания во все стратегии (включая саму себя) должна быть равна 1.
$\sum\limits_{j=1}^n\rho_{i j}=1$
Т.е. можно либо перейти в одну из других стратегий, либо остаться в предыдущей стратегии. Однако эта нормировка в уравнение не подставляется.
Далее в качестве $\rho_{i j}$ используются самые разные функции. В том числе и не удовлетворяющие условию нормировки. См.таблицу на стр.4
Например, функция $\rho _{ij}=x_j[F_j-F_i]_{+}$ Такие уравнения без нормировки вытекания используются в сотнях, а может и в тысячах статей. В чем тут дело? Можно ли считать это ошибкой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение02.04.2012, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Смотря, во что дальше эти уравнения баланса подставляются. Иногда наложение нормировки не влияет на качественную картину явления в других переменных, и удобнее до поры до времени о ней просто забыть. Например, у нас тут получается уравнение $\dot{x}_i=A_{ij}x_j,$ которое задаёт в пространстве $x_i$ какой-то "фазовый поток". О нём можно рассуждать стандартными методами, которые хороши для потока в объёме. А если наложить нормировку $\lVert x_i\rVert=\mathrm{const},$ то мы в этом пространстве высекаем сферу, и поток рассматриваем уже на сфере, что может завести нас в более сложные геометрические рассуждения и менее удобные образы. Проще этого не делать, а только в конце отбросить "лишние решения".

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение02.04.2012, 19:37 


12/09/06
617
Черноморск
Дальше эти уравнения пытаются просто решить. Причем, аналитических решений я не видел. Хотя, конечно, всех работ по теме даже не просмотрел. Но несколько десятков просмотрел внимательно. Интересуются там асимптотическим поведением решений на бесконечности. Единственный метод решения, который я видел - численное решение.

Насколько я понимаю, правильность нормировки $\sum\limits_{j=1}^n\rho_{i j}=1$ сомнений не вызвала. Т.е. формально уравнение баланса без нормировки ошибочно. Мне это кажется достаточно очевидным и элементарным. Но когда видешь сотни статей в солиднейших журналах, в которых решаются неправильно записанные уравнения, то поневоле усомнишься в адекватности своего понимания. Другое дело, что эта нормировка может не слишком влиять на решение. Но это нужно доказывать, исследовать и т.д. и т.п. Очень хотелось бы узнать, есть ли еще люди (имеющие опыт научной деятельности, связанной с подобными вещами), считающие, что без условия нормировки эти уравнения будут неверны? Или, все-таки, у меня что-то с головой?

Кстати, эту задачу, возможно, можно интерпретировать как переход частиц из одного состояния в другое с потенциалом $F_i(x,t)$ или что-то в этом роде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну, в принципе я могу представить себе ситуацию, когда реально условие $\sum\rho=1$ и не выполняется: когда есть какие-то "утечки" в нерассматриваемые в рамках задачи другие состояния.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 08:35 
Заслуженный участник


06/02/11
356
Посмотрите на размерность: $\rho_{ij}$ -- это плотность вероятности, а не вероятность. Поэтому она не может суммироваться в единицу. На самом деле, в сумме опущен член с $\rho_{ii}x^i$, т.к. он не входит в $\dot{x}_i$. Вы можете представлять себе, что автоматически $\rho_{ii}$ таково, что сумма вероятностей за малый промежуток времени равна единице. При этом при переходе к непрерывному пределу все недиагональные $\rho$ конечны, а $\rho_{ii}$ сингулярно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 13:50 


12/09/06
617
Черноморск
Точно. $\rho _{ij}$ это производные от вероятностей. И т.к. сумма вероятностей равна 1, то сумма производных равна 0. Т.е. функции $\rho _{ij}$ должны удовлетворять условию
$\sum\limits_{j=1}^n\rho _{ij}=0$
Но те функции, которые берутся в качестве $\rho _{ij}$ этому условию все равно не удовлетворяют. Так что вопрос не снят с повестки.

Вот более аккуратный вывод. Пусть $\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ - вероятность перейти из $ i $-го в $ j $-е состояние за время $\Delta t $. Тогда $\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)=1$ и $\sum\limits_{j=1}^n\dot \Upsilon _{ij}(0)=0$, $\rho _{ij}=\dot \Upsilon _{ij}(0)$.
Уравнение баланса
$x_i(t+\Delta t)-x_i(t)=\sum\limits_{j=1}^nx_j(t)\Upsilon _{ji}(\Deltat)-x_i(t)\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)$
$\dot x_i=\sum\limits_{j=1}^nx_j\rho _{ji}$
Смысл всей этой затеи в том, что условие нормировки обязательно должно присутствовать в той или иной форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 16:17 
Заслуженный участник


06/02/11
356
Нет, неверно.
Еще раз: пусть время разбито на фиксированные дискретные шаги $\Delta t$, и вероятность перейти из $i$ в $j$ за $\Delta t$ равна $\rho_{ij}\Delta t$. Тогда условие нормировки выглядит как $\rho_ii+\sum_{j\ne i} \rho_{ij} =1/\Delta t$, а уравнение есть $x_i(t+\Delta t)-x_i(t)=\left(\sum_{j\ne i} x_j\rho_{ji}-x_i\sum_{j\ne i}\rho_{ij}\right)\Delta t$, т.е. сумма всех входящих минус сумма выходящих. Обратите внимание, что $\rho_{ii}$ сюда не входит. Для уравнения нас интересуют только коэффициенты перехода, а $\rho_{ii}$ не нужно. Оно может быть найдено из условия нормировки, которое, соответственно, всегда выполняется.
Теперь берем предел $\Delta t\rightarrow 0$. При этом хотим, чтобы $\rho_{ij}$, $i\ne j$, были конечны в пределе, т.е. вероятность перейти за бесконечно малое время стремится к нулю. Соответственно, вероятность остаться там же за бесконечно малое время стремится к единице, и $\rho_{ii}\rightarrow 1/\Delta t$, т.е. сингулярно. Но, к счастью, оно нам в уравнении и не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 17:24 


12/09/06
617
Черноморск
Если так нормировать, то можно получить отрицательные вероятности. Не пойдет.
Может быть, покажете ошибку в моем выводе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 17:33 
Заслуженный участник


06/02/11
356
нет, отрицательные получить так нельзя. Почему -- вы можете понять сами, если внимательно разберетесь с тем, что я написал.
В вашем выводе неверно то, что вы берете производную. Поскольку время уже дискретизовано, то надо не дифференцировать, а делить на $\Delta t$ и брать предел. И плотности вероятности не суммируются в ноль, отнюдь.
Еще раз: $\rho_{ii}=1/\Delta t-\sum_{j\ne i}\rho_{ij}\rightarrow +\infty\,.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 18:36 


12/09/06
617
Черноморск
Я именно делю на $\Delta t$ и беру предел $\rho _{ij}=\lim \frac 1{\Delta t}\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ если $i\ne j$ , $\rho _{ii}=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1)$. Та 1 из-за которой у вас получается $\infty $ уходит для вычисления производной $\rho _{ii}$ Нужно расписывать подробно?
Еще есть ошибки?
Если с этим все в порядке, то дальше можно не читать.

Если в некоторый момент окажется, что вероятность перехода из $i$ в $i$ равна 1 и после нормировки окажется, что в этот момент $\rho _{ii}>0$, то в следующий момент вероятность будет больше 1. Это лишь какой-то частный случай. Ваше доказательство его не исключает. Во-всяком случае, я не вижу как это сделать. Буду очень благодарен, если вы покажете, что после нормировки удовлетворяются аксиомы вероятности. Но сначала разберитесь с той 1, которая $\Upsilon _{ii}(0)=1$. После этого вопрос должен исчезнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 19:07 
Заслуженный участник


06/02/11
356
я не понимаю, о чем вы говорите. Если вы определяете $\rho_{ii}$ с вычитанием единицы, т.е. $\rho_{ii}=(\Upsilon_{ii}(\Delta t)-1)/\Delta t$, то эта величина уже не имеет смысла плотности вероятности и, кажется, вообще никакого физического смысла, кроме того, что она равна $(-\sum_{i\ne j}\rho_{ij})$. В чем загвоздка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 19:33 


12/09/06
617
Черноморск
За нулевое время частица не может перейти ни в какое другое состояние $\Upsilon _{ij}(0)=0, i \ne j$. Она может только остаться в том же состоянии $\Upsilon _{ii}(0)=1 $. Тогда $\rho _{ii}=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-\Upsilon _{ii}(0))=\lim\frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 20:06 
Заслуженный участник


06/02/11
356
ну что вы, плотность вероятности -- это вероятность делить на время, не надо ничего вычитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение03.04.2012, 21:20 


12/09/06
617
Черноморск
Я не знаю, что такое плотность вероятности, но в данном случае $\rho _{ij}=\dot\Upsilon _{ij}(0)$
Я завтра постараюсь написать все связно и подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение баланса
Сообщение04.04.2012, 13:02 


12/09/06
617
Черноморск
Пусть $\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ - вероятность перейти из $ i $-го в $ j $-е состояние за время $\Delta t $. Тогда
$\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)=1$ - условие нормировки.
Устремим в этом соотношении $\Delta t$ к 0 и перейдем к производным. Для этого нужно знать величины $\Upsilon _{ij}(0) $. Заметим, что за нулевое время $ \Delta t=0$ частица не может изменить состояние $\Upsilon _{ij}(0) =0, i\ne j$. За нулевое время частица может только остаться в том же состоянии $\Upsilon _{ii}(0) =1$. Тогда
$\dot\Upsilon _{ij}(0)=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ij}(\Delta t) - \Upsilon _{ij}(0) )=\lim \frac 1{\Delta t}\Upsilon _{ij}(\Delta t) ,\qquad i\ne j $.
$\dot\Upsilon _{ii}(0)=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t) -\Upsilon _{ii}(0))=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1) $.
Из условия нормировки
\begin{multline*} 
0=\frac 1{\Delta t}\left( \sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta
t)-1\right) =\frac 1{\Delta t}\left( \sum_{i\neq j}\Upsilon _{ij}(\Delta
t)+\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1\right) =\frac 1{\Delta t}( \sum_{i\neq
j}(\Upsilon _{ij}(\Delta t)-0)+\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1) =\\
=\sum_{i\neq j}\frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ij}(\Delta t)-\Upsilon
_{ij}(0))+\frac 1{\Delta t}\left( \Upsilon _{ii}(\Delta t)-\Upsilon
_{ii}(0)\right) \rightarrow \sum_{i\neq j}\dot\Upsilon _{ij}(0)+
\dot\Upsilon_{ii}(0)=\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0) 
\end{multline*}
Итого, функции $\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ должны удовлетворять условию
$\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0)=0$
Запишем уравнение баланса
$x_i(t+\Delta t)-x_i(t)=\sum\limits_{j=1}^nx_j(t)\Upsilon _{ji}(\Delta
t)-x_i(t)\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)$
Слагаемое $x_i(t)\Upsilon _{ii}(\Delta t) $ входит и в первую и во вторую сумму. Оно сокращается и можно считать, что его нет. Делим обе части на $\Delta t$и устремляем $\Delta t$ к 0. Получаем
$\dot x_i(t)=\sum\limits_{j=1}^nx_j(t)\dot\Upsilon _{ji}(0)-x_i(t)\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0)$
Сравниваем это уравнение с уравнением из журнала и получаем $\rho _{ij}=\dot\Upsilon _{ij}(0)$. Окончательно, $\rho _{ij}$ должны удовлетворять условию нормировки
$\sum\limits_{j=1}^n\rho _{ij}=0$.

-- Ср апр 04, 2012 14:39:59 --

Можно не делать всех этих длинных выкладок.
Условие нормировки для произвольного $t$
$\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(t)=1$
Дифференцируем по $t$ и кладем $t=0$. Получаем
$\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0)=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group