Задача о нахождении объемного потенциала.

[ZerousiK]

Приветствую. При решени данной задачи столкнулся с одной неприятной проблемой. Задача состоит в нахождении объёмного потенциала шара, плотность заряда которого имеет вид:$\rho=\rho_0\cos(\theta)$.
Объёмный потенциал, по определению, есть интеграл $U(M)=\int \frac{\rho(P)dP}{r_M_P}$, где М - точка наблюдения, P - точка интегрирования. В условиях данной задачи потенциал будет иметь вид:
$U(M)=$\int\limits_{0}^{r_0 } $\int\limits_{0}^{\pi } $\int\limits_{0}^{2\pi } \frac{\rho_0\cos(\theta_P)\rho^2 \sin(\theta_P)}{\sqrt{r^2+\rho^2-2r\rho\cos(\theta_P-\theta)}} $d\varphi$d\theta_P$d\rho
При вычислении данного интеграла столкнулся с проблемами. По фи и тета его взять не сложно, но получающийся крокодил по ро проинтегрировать нереально. Пробовал разложить корень по многочленам Лежандра, но там появляется интеграл вида: $$\int\limits_{-\theta}^{\pi-\theta } \cos(2t)P_n(\cos(t))dt, который ничем хорошем не отличается.
Вольфрам мне с вычислением данного интеграла не помог (по крайней мере за полтора часа он его не посчитал).
Хотелось бы услышать некоторые идеи по поводу того, как вообще можно вычислить данный интеграл с наименьшеми потерями времени. Заранее благодарю.

[Joker_vD]

Хм, ну по идее можно считать, что у вашей $M$ координата $\theta=0$.

[ZerousiK]

Так как плотность зависит от угла, предполагается что система координат фиксирована заранее и нельзя занулять координату точки М. В противном случае у потенциала не будет зависимости от угла.

[svv]

Плотность заряда шара тоже ничем хорошим не отличается (странная неоднозначность и разрывность в нуле при отсутствии зависимости по радиусу). Можно сказать, что трудности с вычислением Вашего интеграла -- это месть за нефизичность плотности заряда.

[ZerousiK]

И тем не менее ответ для этой задачи достаточно простой, хотелось бы всё-таки как-нибудь его получить.

[Vince Diesel]

Может, в декартовой системе попрробовать? В ней плотность равна $Cz$, если $\theta$ - угол с осью $OZ$.

[svv]

$\rho=\rho_0\cos(\theta)$
Здесь $\rho_0$ константа. Если бы было $r$, то да, $r\cos\theta=z$.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Кстати, никто не знает хорошего справочника по интегралам?

[svv]

ZerousiK
Можно попробовать решить уравнение $\Delta U=-4\pi\rho$. Решение искать в виде:
$U(r, \theta)=\sum\limits_n A_n(r) P_n(\cos\theta)$ -- внутри шара;
$U(r, \theta)=\sum\limits_n \frac{B_n}{r^{n+1}} P_n(\cos\theta)$ --вне шара.
Здесь $A_n(r)$ -- функции $r$, а $B_n$ -- константы.

"Фишка" в том, что разложение правой части, плотности заряда, по полиномам Лежандра имеет только один ненулевой член: $P_1(\cos\theta)=\cos\theta$. Тогда и потенциалы тоже будут иметь только одно слагаемое.

[ZerousiK]

svv
Отличная идея, так гораздо проще! Вы спасли меня, благодарю

[svv]

Да, хороший способ. Попросту он сводится к использованию того, что все полевые величины в задаче имеют угловую зависимость $\cos\theta$, а разложение по полиномам Лежандра нужно лишь для обоснования этого.

-- Сб мар 24, 2012 21:35:11 --

Исправил ошибку ($\cos\varphi \to \cos\theta$)