2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение26.12.2012, 20:58 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #664001 писал(а):
$x^2=y^4+1$ (тривиально)
$2x^2=y^4-1$ (относительно легко)
$x^2=2y^4+1$ (чуть труднее)
$2x^2=y^4-17$ (всегда бы так было)
$x^2=2y^4-1$ (очень трудно)


Так, навскидку..
Первое доказывается представлением 4-ой степени квадратом.
Второе и третье - бесконечным спуском.
А вот четвертое - что-то не соображу... :-(
Что-то запутался - а пятое вообще имеет решения (239, 13)...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение27.12.2012, 10:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Уравнение $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$ можно свести к уравнению $X^2-15Y^2=-6$, где $X=6x-3$, $Y=2y^2-2y+1$. Все решения последнего уравнения в натуральных числах $(X,Y)=(X_k,Y_k)$ находятся по формуле$$
X_k+Y_k\sqrt{15}=(3+\sqrt{15})(4+\sqrt{15})^k, \quad k=0,1,2,\dots
$$Теперь нужно выяснить, при каких $k$ уравнение $Y_k=2y^2-2y+1$ будет разрешимо в натуральных числах $y$. Это равносильно вопросу о том, при каких $k$ число $2Y_k-1$ будет точным квадратом. Получить ответ на этот вопрос --- это и есть главная проблема. А она, по всей видимости, решается очень трудно. Вот ещё один пример подобной, но более известной проблемы: найти все числа Фибоначчи, которые являются точными квадратами.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
А вот четвертое - что-то не соображу... :-(
А это пример уравнения, где аналогичную проблему удаётся решить элементарными средствами --- всего лишь удачное стечение обстоятельств.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
Что-то запутался - а пятое вообще имеет решения (239, 13)
Доказать, что других решений нет --- это опять очень сложно.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
Первое доказывается представлением 4-ой степени квадратом.
Правильно.
alexo2 в сообщении #664159 писал(а):
Второе и третье - бесконечным спуском.
Есть более элементарный подход. Метод спуска нужен, если решать эти уравнения в рациональных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение27.12.2012, 11:00 


03/02/12

530
Новочеркасск
Спасибо за разъяснения, попробую последовательно разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 09:14 


03/02/12

530
Новочеркасск
Интересно, а можно ли где-нибудь в нете найти ссылки на упоминаемое у Эдвардса, хоть и сложное, но элементарное (насколько я понял) доказательство того факта, что никакое треугольное число не может быть четвертой степенью?
Полезно было бы посмотреть используемые подходы и приемы. Мне кажется, что они будут такими же, которые необходимы и для доказательства последнего, самого сложного примера от nnosipov... И вполне могут пригодиться для док-ва исходного предположения этой темы..

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 10:24 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #664734 писал(а):
на упоминаемое у Эдвардса, хоть и сложное, но элементарное (насколько я понял) доказательство того факта, что никакое треугольное число не может быть четвертой степенью
Точную ссылку (на какой стр. у Эдвардса) можете дать? Эта задача действительно связана с уравнением $x^2=2y^4-1$, а именно, может быть сведена к решению уравнения $x^4=2y^4-1$. Это последнее также не похоже на легко решаемое, поэтому было бы интересно найти здесь элементарный подход (если верить Эдвардсу, он должен быть).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 11:38 


03/02/12

530
Новочеркасск
Вот нашел... В самом начале стр. 55 Эдвардс пишет:
"В заключение ещё одна теорема, которую легко сформулировать, но далеко не легко доказать: ни одно треугольное число большее 1 не является 4-ой степенью...Первое доказательство этого факта примерно через 150 лет было опубликовано в "Теории чисел" Лежандра"...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 11:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Спасибо. Ну что же, нужно читать товарища Лежандра. Было бы неплохо, если бы Вы разобрали это доказательство, а затем рассказали бы нам здесь. Я этого доказательства не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 11:56 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #664775 писал(а):
Спасибо. Ну что же, нужно читать товарища Лежандра. Было бы неплохо, если бы Вы разобрали это доказательство, а затем рассказали бы нам здесь. Я этого доказательства не знаю.

Я - то бы с радостью - но у меня нет "Теории чисел" Лежандра и поиск "не рулит" :shock: Я поэтому и интересовался, может где-то есть хотя бы в отдельности приведенное доказательство...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 13:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nnosipov в сообщении #664742 писал(а):
может быть сведена к решению уравнения $x^4=2y^4-1$
В "Mordell L.J. Diophantine equations (AP, 1969)(KA)(ISBN 0125062508)(600dpi)(T)(326s)_MT_.djvu" на стр. 72 рассматривается более общее уравнение $x^4=2y^4-z^2$, где $\gcd{(x,y)}=1$ (теорема 5). Оно исследуется методом спуска. Книга Лежандра у меня есть, но в очень плохом качестве: topic66830.html Интересно было бы сравнить, но, скорее всего, у Лежандра тоже применяется метод спуска.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение28.12.2012, 14:01 


03/02/12

530
Новочеркасск
А я пока посмотрю у Морделла...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 10:50 


15/12/05
754
nnosipov в сообщении #627272 писал(а):
alexo2 в сообщении #627238 писал(а):
В этом всем мне, правда, не до конца понятно – надо ли доказывать, что разность соседних кубов – всегда 1 плюс 6 умноженное на треугольное число.
Вот это как раз доказывать не надо, потому что это очевидно. Итак, мы от Вас ждём элементарного доказательства того, что уравнение $x^3-(x-1)^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$ ($x>1$).


Извиняюсь, я правильно понял, что в данном случае $x$ и $y$ не являются переменными уравнения $x^3+y^3=z^3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 11:02 


03/02/12

530
Новочеркасск
ananova в сообщении #664984 писал(а):
[quote="nnosipov в сообщении #627272"
Итак, мы от Вас ждём элементарного доказательства того, что уравнение $x^3-(x-1)^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$ ($x>1$).


Извиняюсь, я правильно понял, что в данном случае $x$ и $y$ не являются переменными уравнения $x^3+y^3=z^3$?[/quote]
Ну, скажем так - это частный случай с разностью соседних кубов, правда, по ним здесь несколько отдельных тем. Но не эта...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 14:24 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nnosipov в сообщении #664804 писал(а):
Интересно было бы сравнить, но, скорее всего, у Лежандра тоже применяется метод спуска.
Да, так и есть. См. стр. 406 в книге по ссылке http://archive.org/download/essaisurlat ... 00lege.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.12.2012, 14:43 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #665046 писал(а):
Да, так и есть. См. стр. 406 в книге по ссылке http://archive.org/download/essaisurlat ... 00lege.pdf

Вот спасибо за ссылку! И качество, вроде неплохое.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение30.12.2012, 18:15 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  alexo2,

Извольте следить за качеством сообщений. Для этого служит кнопка \fbox{Предпросмотр}.
Я имею в виду корявое цитирование в этом Вашем сообщении.

Код:
[quote="........."  <--- (Вот здесь Вы просто откусили квадратную скобку, закрывающую тэг quote.)
Итак, мы...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group