2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение20.10.2012, 10:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #633057 писал(а):
После нехитрых преобразований приходим к:
(3) $3m(m-1) = k(k-1)$
Сравните с (1): там есть множитель 5, а здесь его нет. Куда делся?
alexo2 в сообщении #633057 писал(а):
Используя (2), запишем:
(4) $3m(m-1) = n(n-1)(n-2)$
И здесь не так будет.

Что-то у Вас сегодня с арифметикой ... Впрочем, даже не в этом дело. Вот это
alexo2 в сообщении #633057 писал(а):
В «Википедии» (статья «Тетраэдрические числа») читаем, что существует всего пять треугольных чисел равных тетраэдрическим.
ничуть не проще доказать, чем исходное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение20.10.2012, 10:38 


03/02/12

530
Новочеркасск
Сейчас объясню, с арифметикой вроде все нормально.. Вот только в Ворде набросаю.

-- 20.10.2012, 11:52 --

Из трех треугольных чисел, "оставшихся" от разности кубов вычтем три треугольных числа, "оставшихся" от разности пятых степеней. При этом, останется в равенстве с одной стороны- три разности треугольных "кубовых" и "пятистепенных" чисел, с другой - два "пятистепенных" треугольных числа:
$3(m(m-1)-k(k-1))/2 = 2k(k-1)/2$, ну, или
$3m(m-1) = k(k-1)$

-- 20.10.2012, 12:15 --

Что-то сам не понял, как вместе "уживаются" (1) и (3), но так получается, и, вроде правильно по рассуждениям :-(
Однако, с тетраэдрическим числом неувязочка, но сейчас "разрулить" попробую...

-- 20.10.2012, 12:24 --

А, может, на этом и есть конец доказательства - (1) и (3) вместе выполняться не могут, а должны?

-- 20.10.2012, 12:34 --

Вернее, имеют единственное тривиальное решение $m=k=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение20.10.2012, 11:41 


03/02/12

530
Новочеркасск
Будет
$3m(m-1)=5k(k-1)$
Да уж, пора завязывать.. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение24.11.2012, 22:45 


03/02/12

530
Новочеркасск
Итак, все же используя некоторые интересные свойства треугольных чисел, докажем, что
(1)$x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$
не имеет решений в натуральных числах кроме тривиальных.
В (1) левая часть представляет собой число вида:
(2)$1+6T_3$, где $T_3$ - треугольное число.
Правая часть:
(3)$1+10T_5$, где $T_5$ - треугольное число.
Чтобы выполнялось (1), необходимо, чтобы выполнялось:
(4)$1+6T_3=1+10T_5$
Отсюда,
(5)$10T_5/6=T_3$ или $10T_5/6$ должно быть ЛЮБЫМ треугольным числом.
Воспользуемся свойством треугольных чисел:
Число Т треугольное тогда и только тогда, когда $8T+1$ является квадратом натурального числа.
Из свойства и (5) следует:
(6)$40T_5/3+1=a^2$
(7)$8T_5+1=b^2$
Из (6) и (7):
(8)$(40T_5+5)/3=a^2+2/3$ или
(9)$5b^2-3a^2=2$
(9) имеет единственное натуральное решение $a=b=1$. При этом $T_3=T_5=0$, а $x=y=1$
То есть, (1) имеет единственное тривиальное натуральное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение25.11.2012, 01:50 


03/02/12

530
Новочеркасск
Упс, поторопился,
(9) имеет решения, например, $b=7; a=9$, соответственно, $T_3=10$, а вот с $T_5$ такая "петрушка" получается, - в данном случае оно, по этим формулам равно 6 и это действительно так, но дело в том, что при разнице соседних пятых степеней получаются далеко не все треугольные числа (как это происходит в разнице кубов). И, естественно, 6 там нет.
А я-то думал, как это у меня в рассуждениях появилось "избыточное" известное условие?..
Оказывается избыточного ничего нет, и придется использовать некоторые свойства подмножества треугольных чисел от разницы пятых степеней.
Основное из них - их последовательные порядковые номера равны произведению последовательных соседних натуральных чисел. Начало ряда порядковых номеров: 0, 2, 6, 12, 20, 30 и т.д.
Начало ряда самих треугольных чисел такого вида: 0, 3, 21, 78 и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение25.11.2012, 11:46 


03/02/12

530
Новочеркасск
При этом все решения (9) расположены "возле" $8^n$. И действительно, например, все решения до $a, b < 20000$:

$(1, 1)$, $8^0=1$
$(7, 9)$, $8^1=8$
$(55, 71)$, $8^2=64$
$(433, 559)$, $8^3=512$
$(3409,4401)$, $8^4=4096$

следующее должно быть "в районе" $8^5=32768$
и т.д.
Однако, этим решениям соответствуют треугольные числа, не входящие в подмножество треугольных чисел, образованных от разности соседних пятых степеней.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение23.12.2012, 20:37 


03/02/12

530
Новочеркасск

(Оффтоп)

Давненько не брался за "перо" 8-) ...

Итак, общий ход доказательства:
1. Предположим, что
$x^3-(x-1)^3=y^3-(y-1)^3$ (1)
имеет хотя бы одно отличное от тривиального решение.
Покажем, что по остаткам от деления на 11, всего возможно 5 вариантов равенства (1) с добавлением в обе части (1) слагаемых $-2, -1, 0, +1, +2$.
2. Покажем, что для представления разности соседних кубов в виде:
$1+6N$ (2),
где $N$ - любое натуральное число, все возможные решения по $N$, при которых справедливы вышеозначенные 5 вариантов равенств, исчерпываются 5-тью соответствующими представлениями, только одно из которых имеет решения в натуральных числах в случае, когда N - треугольное число. Найдем общее представление (формулу) решений этого единственного квадратного уравнения.
3. Используя то, что если (1) верно, то все его возможные решения через соответствующие преобразования должны быть подмножеством решений:
$5a^2-3b^2=2$ ,
(что показано в трех предыдущих постах данной темы), и, подставляя полученное в 2 представление, убедимся, что полученное уранение не имеет решений.

Хотелось бы спросить у уважаемого nnosipov: корректна ли будет такая схема доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение23.12.2012, 22:09 


03/02/12

530
Новочеркасск
Прошу прощения, в (1) предыдущего поста $y$ и $(y-1)$ в пятой степени (а то редактировать уже не дают :oops: ):
$x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение23.12.2012, 22:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #662540 писал(а):
корректна ли будет такая схема доказательства?
Будет корректна. Но реализовать п. 3 очень непросто --- это тонкая наука. Уравнение $5a^2-3b^2=2$ имеет бесконечно много решений, записываемых в экспоненциальном виде. И отыскать среди них все те, которые приведут к решениям исходного уравнения --- в этом-то и состоит проблема. Такие уравнения, как исходное, относятся к так называемым "уравнениям Туэ". Есть специальная теория их решения, но она совершенно неэлементарна.

upd: не относятся к "уравнениям Туэ", а могут сведены к решению "обобщённого уравнения Туэ" (метод, который впервые предложил Зигель).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение23.12.2012, 23:17 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #662665 писал(а):
...отыскать среди них все те, которые приведут к решениям исходного уравнения --- в этом-то и состоит проблема... .

Не совсем понял, - надо ведь как раз доказать, что таких решений не существует?
Или имеется ввиду - ещё "сузить круг" возможных решений, а потом, сравнительно просто доказать невозможность существования решений?
Однако, в любом случае, в п.3 я пришел к уравнениям (их 4-ре штуки) вполне "адекватного" для решения (или док-тв несуществования оных) вида.
Вот, например, одно из них:
$55a^2+5a-33b^2-3b=0$...

А.. имеется ввиду "исходное" не (1) а именно
$5a^2-3b^2=2$
Ну, я нашел решения этого уравнения (в смысле алгебраическое представление всех решений - Вы же сами советовали мне посмотреть ур-ния Пелля - так я и нашел зависимость, зная первые решения)...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение24.12.2012, 06:41 


03/02/12

530
Новочеркасск
Я, собственно, почему и задал вопрос о корректности - не до конца уверен, что, решая довольно сложные уравнения, можно использовать метод нахождения зависимостей из первых решений, найденных методом подбора. Хотя этот метод я "подсмотрел" как раз, когда изучал решение "пеллеподобных" уравнений...

Тут единственный "смущающий" момент - как доказать, что найденные зависимости приводят к исчерпывающему все решения представлению... (Хотя, чисто интуитивно, - это так)...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение26.12.2012, 05:53 


03/02/12

530
Новочеркасск
Произвел прямую проверку перебором по $x, y$ до 10000 и $a$ до 25 для
$x^3-(x-a)^3=y^5-(y-a)^5$
Далее - числа очень большие и надо делать программу для обработки таких чисел (но, все равно, я смогу - не более чем до 100000, может, кто-то сможет больше?), однако, думаю, и до 10000 можно делать кое-какие выводы..
Так вот, при описанных условиях перебора, откидывая значения $(x-a)<0, (y-a)<0$, так как это не совсем "та" ветка решений, которые интересуют и тривиальные решения, найдено только одно решение:
$x=161, y=14, a=7$
Похоже, что для $a=7$, оно- единственное...
Вывод при этом такой:
точно - не для всех а не имеется решений,
предположительно - для а имеющих решения, они будут единственными.
Для соседних простых степеней до 29-ой включительно также проверено до 1000 и а=1. Решений нет.
Для "несоседних" простых степеней решения есть..
Надо проанализировать результаты перебора.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение26.12.2012, 14:52 
Заслуженный участник


31/12/05
1346
alexo2 в сообщении #663885 писал(а):
$x=161, y=14, a=7$
Тут есть общий множитель.

И тут есть: $x=1960, y=56, a=49$
А вот тут нет: $x=3396, y=73, a=61$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение26.12.2012, 15:03 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #662696 писал(а):
А.. имеется ввиду "исходное" не (1)
Нет, в качестве исходного я имел в виду именно уравнение (1).

-- Ср дек 26, 2012 19:48:16 --

alexo2 в сообщении #662804 писал(а):
Тут единственный "смущающий" момент - как доказать, что найденные зависимости приводят к исчерпывающему все решения представлению...
Вот несколько примеров уравнений типа Вашего (1), на которых Вы можете прочувствовать этот "смущающий" момент, пытаясь решить эти уравнения в целых числах:

$x^2=y^4+1$ (тривиально)
$2x^2=y^4-1$ (относительно легко)
$x^2=2y^4+1$ (чуть труднее)
$2x^2=y^4-17$ (всегда бы так было)
$x^2=2y^4-1$ (очень трудно)

Ваше уравнение $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$ относится, скорее всего, к последней категории.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение26.12.2012, 19:16 


03/02/12

530
Новочеркасск
tolstopuz в сообщении #663990 писал(а):
alexo2 в сообщении #663885 писал(а):
$x=161, y=14, a=7$
Тут есть общий множитель.

И тут есть: $x=1960, y=56, a=49$
А вот тут нет: $x=3396, y=73, a=61$

Спасибо за решения. Как я понял, Вы просчитали до $a=100$?
Так что решения есть только когда а-простое или квадрат простого (как это часто бывает) и решения эти - единственные...

-- 26.12.2012, 20:19 --

nnosipov в сообщении #664001 писал(а):
Вот несколько примеров уравнений типа Вашего (1), на которых Вы можете прочувствовать этот "смущающий" момент, пытаясь решить эти уравнения в целых числах:

$x^2=2y^4-1$ (очень трудно)

Ваше уравнение $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$ относится, скорее всего, к последней категории.

То есть, я до этого представил неправильную схему доказательства? Или метод "вычисления" "формулы" решений не правильный (недостаточный для всех решений)?
Опять же, - не совсем понятно, - Вы допускааете, что решения есть?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group