2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел последовательности n(2^{1/n} - 1)
Сообщение27.12.2006, 13:47 


25/12/06
63
Что-то я никак не могу взять элементарный предел - даже самому как-то неловко спрашивать, но мозги отказывают
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(2^{1/n}  - 1)\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Например, можно решить так: замените n на $1/x$, получится предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}$. Дальше --- Лопиталь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 13:54 


26/09/05
530
Ответ: $ln(2)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Угу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 15:12 


25/12/06
63
Спасибо

Lion писал(а):
Например, можно решить так: замените n на $1/x$, получится предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}$. Дальше --- Лопиталь.

Во до меня как-то доходит - этот предел очень похож на следствие из второго замечательного предела: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (1 + 1/x)^x  = e$$ или $$\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to 0 + } (1 + \alpha )^{{1 \over \alpha }}  = e$$ при замене $$1/x = \alpha $$
1. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln (1 + x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln \left[ {(1 + x)^{1/x} } \right] = \ln \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}  = \ln e = 1$$
2. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^x  - 1} \over x} = \left\langle {y = e^x  - 1} \right\rangle  = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {y \over {\ln (1 + y)}} = 1$$
И наконец: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2^x  - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^{x\ln 2}  - 1} \over x}$$
И в общем случае: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{a^x  - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^{x\ln a}  - 1} \over x}$$

Правильно ли я написал. Вы уж извините меня - что-то к концу года плохо соображается :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Да, Вы правы. Осталось только добавить, что $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}=\ln a\lim\limits_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=\ln a$. По-моему, у нас на лекциях этот предел так и вычислялся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Боюсь наскучить, но Лопиталь опять не в тему - всё-таки один из замечательных пределов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group