2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 10:47 


01/03/11
495
грибы: 12
Электромагнитное поле, Ч2, Мешков И.Н. Чириков Б.В.,1987, $\S$ 98 "Принцип Гюйгенса-Френеля", с. 44.

Цитата:
В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля поле в точке $P$ за экраном (рис. XV.6) есть суперпозиция сферических волн, исходящих из различных точек отверстия в экране:

$E_p = A \int\limits_S\int dS \frac{E(S)}{R}e^{i(\mathbf{kR}-\omega t)}, \qquad\qquad\eqno (98\;1)$

где $E(S)$ - напряженность поля в точке $S$ отверстия, $A$ - коэффициент, подлежащий определению.

Хочется проверить, удовлетворяет ли такая сферическая волна $\frac{E(S)}{R}e^{i(\mathbf{kR}-\omega t)}$ уравнению: $\Delta \mathbf{E(R)} + \varepsilon\mu\frac{\omega^2}{c^2}\mathbf{E(R)} = 0$, но не понятно куда направлен вектор напряженности поля в сферической волне. Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 11:57 
Заслуженный участник


13/04/11
564
romka_pomka в сообщении #551048 писал(а):
не понятно куда направлен вектор напряженности поля в сферической волне

Туда же, куда и в т. S.
romka_pomka в сообщении #551048 писал(а):
Хочется проверить, удовлетворяет ли такая сферическая волна $\frac{E(S)}{R}e^{i(\mathbf{kR}-\omega t)}$ уравнению: $\Delta \mathbf{E(R)} + \varepsilon\mu\frac{\omega^2}{c^2}\mathbf{E(R)} = 0$

Не удовлетворяет. Сферическая волна -- это $\frac{E(S)}{R}e^{i({kR}-\omega t)}$ (без скалярного произведения в экспоненте). Если так записать, то удовлетворяет (в вакууме).

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 14:41 


01/03/11
495
грибы: 12
obar в сообщении #551059 писал(а):
Туда же, куда и в т. S.

Тогда в декартовых координатах $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ и действует на каждую компоненту вектора независимо.
obar в сообщении #551059 писал(а):
Сферическая волна -- это (без скалярного произведения в экспоненте). Если так записать, то удовлетворяет (в вакууме).

1. Допустим "в вакууме": $\varepsilon\mu = 1$
2. Допустим в книге описка, и волновой вектор будем читать как волновое число, не зависящее от координат. Действие оператора $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ на волну $\frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR}$:$$\Delta \frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR} = \mathbf{E}(S)\Delta \frac{e^{ikR}}{R} =  \mathbf{E}(S)\frac{e^{ikR}}{R}(\frac{2}{R} - \frac{2}{R^3} - k^2).$$
Далее, вглядываясь в уравнение $$\Delta \mathbf{E(R)} + \frac{\omega^2}{c^2}\mathbf{E(R)} = 0,$$
делаем вывод, что оно удовлетворяется не для всех $R$, а только для тех, которые удовлетворяют равенству: $\frac{2}{R} - \frac{2}{R^3} - k^2 = -\frac{\omega^2}{c^2}$

Наверное, я где-то напутал, но не пойму где.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Проблема в том, что электрическое поле - векторное. А ежа (сферу) причесать нельзя. Поэтому не бывает сферической электромагнитной волны с полной сферической симметрией. Вместо этого бывают волны почти сферические, которые асимптотически ведут себя как $(E_0(\varphi,\theta)/R)\exp(ikR-i\omega t),$ то есть с угловой зависимостью. И рассматриваются волны последовательных членов ряда мультипольного разложения: дипольные, квадрупольные, и т. д., и каждые - "электрического" и "магнитного" типа (отличающиеся поворотом векторов полей на 90°). Для них и можно записать точные выражения, удовлетворяющие волновому уравнению везде (кроме начала координат).

Так что, то, что в источнике цитаты сразу было оговорено, что рассматривается волна в точке $S$ - это не пустой каприз и не ничего не значащие слова, а существенная оговорка. Вблизи от этой точки волна будет иметь приведённый вид. А вдали - хренушки.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 16:55 


01/03/11
495
грибы: 12
Так... Пойду думать. (что-то не нравятся мне их "существенные оговорки")

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, пардон, обознатушки. $S$ - это точка экрана отверстия в экране, из которой исходит волна, так что я зря приписал ей роль параметра, указывающего направление.

А интеграл, видимо, записан в приближении скалярных волн, которое до некоторой точности верно и для электромагнитных.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 17:34 
Заслуженный участник


13/04/11
564
romka_pomka в сообщении #551082 писал(а):
$$\Delta \frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR} = \mathbf{E}(S)\Delta \frac{e^{ikR}}{R} =  \mathbf{E}(S)\frac{e^{ikR}}{R}(\frac{2}{R} - \frac{2}{R^3} - k^2).$$

Вы просто допустили алгебраическую ошибку: первые два слагаемые должны сокращаться (у вас даже размерности не совпадают).

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Эта же тема рассмотрена в Ландау, Лифшиц "Теория поля" ("Теоретическая физика" том 2) § 59, со ссылками на § 54, там, вроде, оговорены все используемые приближения и обозначения.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 19:45 


01/03/11
495
грибы: 12
obar в сообщении #551148 писал(а):
у вас даже размерности не совпадают

Упс! Согласен - непростительно. Каюсь и исправляюсь:
$$\Delta \frac{\mathbf{E}(S)}{R}e^{ikR} = \mathbf{E}(S)\Delta \frac{e^{ikR}}{R} =  \mathbf{E}(S)\frac{e^{ikR}}{R}(- \frac{2}{R^2} - k^2).$$

Munin в сообщении #551151 писал(а):
Эта же тема рассмотрена в Ландау, Лифшиц "Теория поля" ("Теоретическая физика" том 2) § 59, со ссылками на § 54, там, вроде, оговорены все используемые приближения и обозначения.
Спасибо, обязательно посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 20:35 
Заслуженный участник


13/04/11
564
romka_pomka в сообщении #551180 писал(а):
Каюсь и исправляюсь

Опять неправильно. Слагаемые с $1/R^2$ должны сократиться. Распишите лаплас в сферических координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 21:04 


01/03/11
495
грибы: 12
obar в сообщении #551198 писал(а):
Распишите лаплас в сферических координатах.

$$ \mathbf{E} =  E(0)\frac{e^{ikR}}{R}\begin{pmatrix} \cos{\theta}\\-\sin{\theta} \\ 0 \end{pmatrix}$$$$\Delta\mathbf{E} = \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{E} - \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E}$$
obar в сообщении #551198 писал(а):
Слагаемые с $1/R^2$ должны сократиться.
Мне бы этого тоже хотелось. Завтра еще разок перепроверю.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 21:25 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Да все гораздо проще. Во-первых поле $\mathbf{E}(S)$ имеет фиксированные компоненты. Во-вторых
$$
\Delta\mathbf{E}=\mathbf{E}(S)\Delta\frac{e^{ikr}}{r}=\mathbf{E}(S)\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}(S)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 21:33 


01/03/11
495
грибы: 12
obar в сообщении #551232 писал(а):
Да все гораздо проще. Во-первых поле $\mathbf{E}(S)$ имеет фиксированные компоненты. Во-вторых
$$
\Delta\mathbf{E}=\mathbf{E}(S)\Delta\frac{e^{ikr}}{r}=\mathbf{E}(S)\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}(S)\frac{e^{ikr}}{r}=-k^2\mathbf{E}.
$$

Это же не спортивно. Да и дивергенция этого поля все равно не равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение22.03.2012, 21:59 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Дивергенцию нужно проверять для результирующего поля $E_p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: сферическая волна в принципе Гюйгенса-Френеля
Сообщение23.03.2012, 06:35 


01/03/11
495
грибы: 12
obar в сообщении #551245 писал(а):
Дивергенцию нужно проверять для результирующего поля .
А ротор ротора тогда почему лапласиану приравниваем и проверяем уравнение с лапласианом на это "нерезультирующее" поле? Зачем нам волновое уравнение (или ур-е Гельмгольца), если дивергенция не равна нулю?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group