2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачки - помогите решить.
Сообщение25.12.2006, 08:55 
Аватара пользователя


09/03/06
40
Владивосток
1.Напротив какой из сторон треугольника a,b,c лежит меньший угол, если a² + b² > 5c² ?

2.Натуральные числа заключены между 2006² и 2007². Можно ли найти среди них числа a,b,c,d такие, что ab = cd ?

3.x + 1/y = y + 1/z = z + 1/x . Найти x²y²z².

4.Хрюша расставил своих 2006 друзей на дороге длиной 1 км. Есть ли точка на этой дороге, такая что сумма расстояний от нее до друзей Хрюши не меньше 1003 км?

5.С какого номера n члены последовательности:
a[1] = 1,
a[n+1] = 2*(a[n]+1/a²[n])/3
будут отличаться от кубического корня из 2 на величину не больше чем 10 в степени -16?

6.Найти x, y, z, такие что
x + y + z = 1,
x³ + y³ + z³ = 1,
xy + yz + xz = -4.


Всем заранее Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Насколько я помню, задачи 4, 5 и 6 мы с Вами и RIP'ом уже решали здесь.
В задаче 3 условие точно правильное? Если $x=y=z$, то $(xyz)^2$ может быть любым положительным числом.
В задаче 1 скорее всего, напротив стороны с. Это следует из симметрии условия относительно замены а на b и b на а.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Antonina, в следующий раз пишите сразу в раздел "Олимпиадные задачи", всё равно перенесут.
3) В третьей задаче, насколько я помню, еще есть условие, что не все числа $x,y,z$ равны. Тогда они все попарно неравны. Переписываем условие в виде
$$x-y=\frac{y-z}{yz}$$
$$y-z=\frac{z-x}{zx}$$
$$z-x=\frac{x-y}{xy}$$
Перемножаем и получаем, что $x^2y^2z^2=1$.
1) Напротив стороны $c$. Надо доказать, что $c<a$ и $c<b$.
Если бы было $c\geqslant a$, то $b^2>5c^2-a^2\geqslant(a+c)^2$, т.е. $b>a+c$. Противоречие с нер-вом треугольника.
Аналогично, $c<b$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 21:01 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Замечание за дубль. Задачи 4, 5, 6 уже были, причем в вашей же теме. Тема перенесена в олимпиадные.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
2) Более общо, докажем, что равенство $ab=cd$ невозможно, где $a,b,c,d$ - попарно различные натуральные числа, заключенные между $n^2$ и $(n+1)^2$ включительно.
От противного. Пусть $a$ - наименьшее. Сделаем замену переменных $c=a+e,d=a+f,b=a+g$. Тогда $a(g-e-f)=ef$, следовательно,
$g\geqslant e+f+1>2\sqrt{ef}+1\geqslant 2\sqrt a+1\geqslant 2n+1$
Значит, $b=a+g>n^2+2n+1=(n+1)^2$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 06:23 
Аватара пользователя


09/03/06
40
Владивосток
Спасибо за замечание. :oops: Искрене сожалею, что доставила Вам неудобства. :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 16:44 


21/06/06
1721
Не понимаю честно говоря, что в первой задаче олимпиадного. Она в уме решается.

Если бы a было бы меньше c, то тогда из неравенства следует, что b больше 2с. Тогда противоречие с неравенством треугольника. Аналогичное рассуждение и по b. Следовательно c
наименьшая сторона. Ну а далее все понятно какой угол против какой стороны лежит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.12.2006, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Это нормальная олимпиадная задача для 8, скажем, класса. То, что решение простое, не означает, что до него легко додуматься.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group