2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение23.03.2012, 10:11 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Bulinator в сообщении #550823 писал(а):
srm в сообщении #550722 писал(а):
Насколько я понимаю, Лагранжев и Гамильтонов формализм - равносильные методы.

Не совсем. Гамильтонова формулировка механических систем более общая. Не для всякого Гамильтониана существует Лагранжиан. Зато обратное утверждение верно(с какими-то оговорками).

А почему не для всякого? Вот есть гамильтониан $H=H(p,q,t)$. Лагранжианом будет соответствующее преобразование Лежандра:
$L = p_i \frac{{\partial H}}{{\partial p_i }} - H$
где обобщённые импульсы заменены на скорости из уравнения
$\dot q_i  = \frac{{\partial H}}{{\partial p_i }}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение23.03.2012, 11:51 


06/04/11
495
В. Войтик, мне тоже неясно. Многие авторы учебников по теормеху начинают именно с Лагранжева формализма, определяют действие $S=\int L\left(q,\dot{q},t\right)dt$ и получают уравнения для экстремальной траектории (уравнения Лагранжа). А уже потом переходят к Гамильтонову формализму, вводя преобразование координат: $p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{i}}$ и гамильтониан: $H=p_{i}\dot{q}^{i}-L$. Такое преобразование возможно лишь если $\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}^{i}\partial\dot{q}^{j}}$ не вырождена. То есть, Лагранжев формализм оказывается фундаментальным, а Гамильтонов - некоторая надстройка над Лагранжевым, которая не всегда возможна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение23.03.2012, 23:31 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Для вырожденных теорий тоже можно построить гамильтонов формализм. Схематично это выглядит так. Пусть есть лагранжиан $L(q^i,\dot{q}^i)$. Строим расширенную теорию с лагранжианом $L'(q^i,v^i,p_i)=p_i(\dot{q}^i-v^i)+L(q^i,v^i)$. То есть мы добавили связь $\dot{q}^i=v^i$ с лагранжевым множителем $p_i$ и заменили в исходном лагранжиане $\dot{q}^i$ на $v^i$. После этого выражаем из уравнений движения $\frac{\partial L'}{\partial v^i}=0$ те скорости $v^i$, которые можно выразить и подставляем их в $L'$. Те которые нельзя выразить остаются. Они будут входить в $L'$ линейно и будут играть роль лагранжевых множителей, которые обозначим $\lambda^\alpha$. В результате "лагранжиан примет гамильтонов вид" $$L_H=p_i\dot{q}^i-H(q,p)-\lambda^\alpha\varphi_\alpha(q,p).$$Ну и дальше нужно анализировать полученную гамильтонову теорию. То есть вырожденный лагранжиан означает присутствие связей в гамильтоновом формализме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение24.03.2012, 00:10 


20/12/09
1527
Oleg Zubelevich в сообщении #551320 писал(а):
Ales в сообщении #551262 писал(а):
Можно ли любую систему каноническим преобразованием привести к виду $H(q,p) = p^2 + U(q)$?

вообще говоря, нет. Систему с гамильтонианом $H=p^3$ на множестве содержащем $p=0$ не приведете.
В окрестности неособой точки гамильтонова векторного поля можно привести , последнее следует из теоремы о выпрямлении векторного поля post535364.html#p535364


Это локально.
А можно ли глобально?

-- Сб мар 24, 2012 00:18:48 --

srm в сообщении #551344 писал(а):
Такое преобразование возможно лишь если $\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}^{i}\partial\dot{q}^{j}}$ не вырождена.


Для реальных систем она невырождена.
Поэтому всегда можно перейти к гамильтоновой системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение24.03.2012, 12:24 


10/02/11
6786
Ales в сообщении #551592 писал(а):
Для реальных систем она невырождена.
Поэтому всегда можно перейти к гамильтоновой системе.

в оптике вырождена

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение24.03.2012, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
В. Войтик в сообщении #551332 писал(а):
А почему не для всякого?


Я думаю, что это, например, потому, что Лагранжиан всегда задан на касательном расслоении какого-то многообразия $L:TM\to \mathbb{R}$ и соответствующий ему Гамильтониан будет определен на кокасательном расслоении $H:T*M\to \mathbb{R}$. Гамильтонову систему же можно определить на более общем- симплектическом многообразии $(M,\omega^{(2)})$, которое, в частности, даже может быть компактным(в отличие от кокасательного расслоения, которое всегда некомпактно).

Я знаю одну такую систему, с применением в высокой науке. Берем $S^2$ с Римановыми координатами $z=\frac{q_1+\imath q_2}{1+q_3}$ ($q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$)и определяем скобку Пуассона(обратную симплектическую 2-форму)
$\{z,\bar z\}=(\text{коэффициент типа 1/2})(1+z\bar z)^2$.
Можно записать Гамильтониан $H:T*\mathbb{R}^5\times S^2\to\mathbb{R}$
$H=\frac{1}{2}\left(p^2+\frac{s^2}{r^2}\right)$
и скобки Пуассона
$\{p_\mu,p_\nu\}=F_{\mu\nu}^ih_i$ $\mu,\nu=1,\ldots,5,\quad i=1,\ldots,3$.
Тут $F_{\mu\nu}^i=\partial_\mu A^i_\nu-\partial_\nu A^i_\mu+\varepsilon^{ijk}A_\mu^j A_\nu^k$
тензор ЭМ поля монополя Янга, вектор-потенциал которого имеет вид
$A_\mu^i=\frac{\eta^i_{\mu\nu}x_\mu}{r(r+x_5)}$($\eta^i_{\mu\nu}$-символ т'Хофта, а $r^2=\delta^{ij}x_ix_j$)
$h_2+\imath{h_1}=\frac{2z}{1+z\bar z},\quad h_3=\frac{1-z\bar z}{1+z\bar z}$(с точностью до каких-то коэффициентов.)
Можно посчитать, что
$\{h_i,h_j\}=\varepsilon_{ijk}h_k$
Над этой системой как-то колдуют(компактифицируют и еще чегой-то, потом квантуют и получают изоспин).
Так вот, хоть и локально, вы всегда можете нарисовать Лагранжиан для такой системы, глобально у Вас ничего не получится по уазанной выше причине(компактность- некомпактность).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение25.03.2012, 20:48 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Ales в сообщении #551592 писал(а):
Для реальных систем она невырождена.


Она вырождена для релятивистской частицы, калибровочных полей, включая электромагнитное, ну про гравити и стринги я уж и говорить стесняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение26.03.2012, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #552126 писал(а):
про гравити и стринги я уж и говорить стесняюсь.

Давно бы так...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение26.03.2012, 21:44 


20/12/09
1527
ИгорЪ в сообщении #552126 писал(а):
Ales в сообщении #551592 писал(а):
Для реальных систем она невырождена.


Она вырождена для релятивистской частицы, калибровочных полей, включая электромагнитное, ну про гравити и стринги я уж и говорить стесняюсь.


Ну вот, накидали кучу всего, а я только имел в виду классическую механику.

А почему там наблюдается вырождение? И как в таком случае вводят импульсы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение26.03.2012, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Ales в сообщении #552466 писал(а):
И как в таком случае вводят импульсы?


Связями. Если интеренсно, посмотрите книгу Дирак, "Принципы квантовой механики". Бонус-глава "Лекции по квантовой механике".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение26.03.2012, 22:14 


20/12/09
1527
Bulinator в сообщении #552471 писал(а):
Ales в сообщении #552466 писал(а):
И как в таком случае вводят импульсы?


Связями. Если интеренсно, посмотрите книгу Дирак, "Принципы квантовой механики". Бонус-глава "Лекции по квантовой механике".

Спасибо, посмотрю.
Но квантовая механика, кажется, работает с распределениями.
Лучше бы, примерчик из оптики или какие-нибудь геодезические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение26.03.2012, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Ales в сообщении #552480 писал(а):
Но квантовая механика, кажется, работает с распределениями.

Это книга так называется. В начале лекций все о классике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение26.03.2012, 23:06 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Я бы очень рекомендовал замечательную книгу
Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями.
Думаю, ТС хватит прочитать первые две главы, чтобы получить ответы на инересующие вопрсы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение27.03.2012, 13:53 


06/04/11
495
Спасибо за литературу. Меня интересует связь классической механики с движением в искривлённых многообразиях. К сожалению, диф геометрию я знаю плохо. Хотелось бы, чтобы в книге изложение материала по диф геометрии и по механике шло параллельно (как, например, в книге "Гравитация").

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на Лагранжиан
Сообщение27.03.2012, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
srm в сообщении #552620 писал(а):
Хотелось бы, чтобы в книге изложение материала по диф геометрии и по механике шло параллельно

По-моему, это слишком завышенные требования к книге. Проще положить рядом два учебника, и читать их параллельно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group