2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 15:32 


26/08/11
120
По методу мат. индукции делается предположение, что утверждение верно для случая n, а затем из этого предположения доказывается что утверждение верно для случая n+1.

Вопрос следующий, как основываясь на предположении можно что то доказать? То есть утверждение для случая n не является точным, а из него каким то образом получается доказательство того, что утверждение верно для всех n.

Может не совсем корректный вопрос. Но надеюсь вы меня поймёте верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Вы пропустили так называемую "базу индукции".
Утверждение надо доказать для некоторого начального значения $n_0$.
Есть примеры, которые показывают, что без первого шага можно получать "доказательства" совершенно ложных утверждений. Даже более замаскировано: когда индукционный переход не срабатывает именно при первом шаге. Но этим можно обмануть только невнимательных людей.
А бывает, что утверждение верно не для всех натуральных чисел, а только больших некоторого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 15:41 


26/08/11
120
Я ей не уделил должного внимания.
Предположим мы можем доказать для n=1, что утверждение верно. Дальше делаем предположение что утверждение доказано для K случаев. Но это же предположение. Как основываясь на нём, можно дальше что то доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Утверждение может быть либо верным, либо неверным. Мы доказываем, что если оно верно для некоторого $k$ (включая базовый номер), то оно верно для $k+1$.

Подобным же образом работает доказательство от противного. Там мы вообще основываемся на предположении, что некоторое утверждение ложно. Логически приходим к противоречию и из этого получаем, что исходное утверждение истинно.

То есть вообще уму не постижимо, однако такова уж логика математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Guliashik в сообщении #544852 писал(а):
Предположим мы можем доказать для n=1, что утверждение верно. Дальше делаем предположение что предположение доказано для K случаев. Но это же предположение. Как основываясь на нём, можно дальше что то доказывать?
Ну, для $K=1$ мы ведь доказали? И доказали, что "из $K$ следует $K+1$"? Раз для $K=1$ верно, то и для $K=2$ верно. Раз для $K=2$ верно, то и для $K=3$ верно. Раз для $K=3$ верно, то и для $K=4$ верно. ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 16:20 


26/08/11
120
Наверно вам будет проще мне объяснить на примере.
Есть варианта $x_1=\sqrt{c}, x_2=\sqrt{c+\sqrt{c}},x_3=\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c}}}$....и т.д. c>0.
Нужно найти предел данной варианты, для этого нужно доказать что она монотонная, и ограничена.
Монотонность очевидна. По поводу ограниченности, можно предположить что для некоторого n значение варианты меньше$\sqrt{c}+1$. То есть тут вроде как совсем и не предположение, а вполне очевидный факт, что для некоторого n данное неравенство верно.
По методу мат. индукции
1) База $x_1=\sqrt{c}<\sqrt{c}+1$.
2)Допустим что какое либо значение $x_n<\sqrt{c}+1$
3)$x_{n+1}<\sqrt{c+2\sqrt{c}+1}=\sqrt{c}+1$
читд.
Пример взят из Фихтенгольца.
Someone, вот для вышеприведённого примера, для меня это очевидно.
Но вот как доказать ограниченность варианты для другого примера понять не могу:
$x_1=\frac{c}{2}$
$x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_n^2}{2}$
0<c<=1.
Объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Ну для этого сначала надо догадаться, какой константой она ограничена. Попробуйте $1+\sqrt{1-c} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 16:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Guliashik в сообщении #544868 писал(а):
Но вот как доказать ограниченность варианты для другого примера понять не могу:
$x_1=\frac{c}{2}$
$x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{{x_n}^2}{2}$

Доказывайте, что она ограничена сверху меньшим корнем уравнения $\frac{x^2}2-x+\frac c2$. Собственно, к которому она и стремится.

(Это станет геометрически очевидным, если нарисовать на одной картинке графики $y=\frac{x^2}2+\frac c2$ и $y=x$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 16:54 


26/08/11
120
1) База $x_1=\frac{c}{2}<1+\sqrt{1-c}$ -очевидно.
2)Тогда для некоторого n неравенство $x_n=\frac{c}{2}+\frac{{x_n-1}^2}{2}<1+\sqrt{1-c}$ имеет место быть верным(для каких то первых значений очевидно).
3)$x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_n^2}{2}$.
$x_n^2<2+2\sqrt{1-c}-c$
$\frac{x_n^2}{2}+\frac{c}{2}<1+\sqrt{1-c}$
$x_{n+1}<1+\sqrt{1-c}$.

Вроде бы чуток прояснилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 17:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Теперь попытайтесь по индукции доказать, что $x_n<1-\sqrt{1-c}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 19:28 


26/08/11
120
1)База
$\frac{c}{2}<1-\sqrt{1-c}<1$
2) Для некоторых n $x_n<1-\sqrt{1-c}$ верно.
3) $x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_n^2}{2}<1-\sqrt{1-c}$ (выводится также как и выше).
Спасибо, стало понятнее.
Хотя по поводу первого утверждения вроде бы наврал, сейчас проверю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 23:24 


26/08/11
120
Не получилось у меня доказать, что $\frac{c}{2}<1-\sqrt{1-c}$. Может надо смотреть не $x_1$, а $x_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение03.03.2012, 23:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Там ничего вообще считать не надо, там принципиальна лишь идеология:

1) что та парабола лежит выше биссектрисы первой четверти -- пока они не пересекутся;

2) что они справа от нуля пересекутся-таки (это единственный момент, где хоть что-то надо считать);

3) что та парабола при положительных иксах возрастает;

4) что начальное приближение лежит между нулём и первой от нуля точкой пересечения.

Далее всё и геометрически очевидно, и (уж коль геометрия ясна) аналитически легко обосновывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение04.03.2012, 16:58 


03/03/12
1380
quote=868"Guli[ashik в сообщении #544"]$x_1=\sqrt{c}, x_2=\sqrt{c+\sqrt{c}},x_3=\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c}}}$....и т.д. c>0.
Нужно найти предел данной варианты, для этого нужно доказать что она монотонная, и ограничена..[/quote]
Ограниченность здесь очевидна, если положить $\sqrt{c+x}=x$. Тогда $x_{n+1}<x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение05.03.2012, 12:11 


03/03/12
1380
В книге "Сборник задач по математике" Л.В.Кованцева, И.Г.Малышев доказывается, что для данной последовательности существует единственный предел, равный x. А, если границу найти другим способом, например, так $\sqrt{c+{\sqrt{x}}}=x$, то будет ли она меньше указанного в книге предела? У меня получается, что меньше. Но, возможно ли такое? Может я не заметила ошибку?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group