2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 10:12 


10/02/11
6786
Имеется катушка радиуса $R$, ось катушки неподвижна и расположена горизонтально. Катушка может крутиться вокруг своей оси без трения, момент инерции катушки относительно оси -- $J$.
На катушку намотана тонкая однородная нитка массы $m$ и длины $l$. Нитка не проскальзывает по катушке.
Конец нитки длины $x_0$ свешивается, благодаря чему под действием силы тяжести катушка начинает разматываться. Найти зависимость угловой скорости катушки от времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 12:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$\dfrac{mR\varphi}l\cdot\dfrac{gR\varphi}2-\dfrac{mgx_0^2}2=J\dot\varphi^2+mR^2\dot\varphi^2,\ \ R\varphi_0=x_0,\ \ \varphi=\varphi_0\cdot\ch(Ct).\ $ Почему это неверно?...

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 12:26 
Заблокирован


30/07/09

2208
ewert в сообщении #544132 писал(а):
Почему это неверно?..
Прежде всего потому, что момент инерции катушки будет зависеть от времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 12:29 


10/02/11
6786
ewert Вы не могли бы прокомментировать формулу. Справа стоит кинитическая энергия как будто катушка вращается вместе с намотанной полностью на нее ниткой. что слева не пойму...

Давайте попробуем разобраться в Вашем решении, но ответ другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 13:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
anik в сообщении #544135 писал(а):
Прежде всего потому, что момент инерции катушки будет зависеть от времени.

Это правильно, конечно, но это я просто по рассеянности забыл добавить соотв. дробь в правую часть (хотя и собирался; но по ходу редактирования забыл о ней и решал уже то, что получилось). Главная ошибка у меня в другом.

Oleg Zubelevich в сообщении #544139 писал(а):
Справа стоит кинитическая энергия как будто катушка вращается вместе с намотанной полностью на нее ниткой. что слева не пойму...

Слева -- естественно, изменение потенциальной энергии, вот оно-то существенно неверно. Пока что лень разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 13:11 
Заслуженный участник


13/04/11
564
ewert в сообщении #544148 писал(а):
вот оно-то существенно неверно.

Да вроде все просто
$$
\frac{J\dot{\varphi}^2}{2}+\frac{mR^2\dot{\varphi}^2}{2}-\frac{mg(x_0+R\varphi)^2}{2l}=-\frac{mgx_0^2}{2l}.
$$
Диффур элементарно интегрируется.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 13:53 


10/02/11
6786
это неправильное уравнение

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 14:06 
Заблокирован


30/07/09

2208
Будем считать, что $m$ это не масса всей нити, а масса единицы длины нити. Так проще, чтобы в знаменателе не было $l$. Ещё будем считать, что $\varphi$ это угол поворота катушки - переменная, зависящая от времени, тогда:
$x=R\varphi+x_0$ - свисающая часть нити,
$mg(R\varphi+x_0)$ - сила веса свисающей части нити,
$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.
Найдём момент инерции катушки.
$J(t)=J+m(l-R\varphi-x_0)R^2$
Найдём угловое ускорение катушки $\ddot\varphi=M(t)J(t)$
$$\ddot\varphi=mgR(R\varphi+x_0)[J+m(l-R\varphi-x_0)R^2]$$

Может, где ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 14:11 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Oleg Zubelevich в сообщении #544165 писал(а):
это неправильное уравнение

Можно узнать почему? Неужели предполагалось учитывать, что нить отрывается от катушки не под углом $\pi/2$ и потому имеет горизонтальную компоненту скорости (а значит ее центр масс не находится на расстоянии $(x_0+R\varphi)/2$)? Тогда это просто ужас, а не задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 14:19 


10/02/11
6786
obar в сообщении #544170 писал(а):
Неужели предполагалось учитывать, что нить отрывается от катушки не под углом $\pi/2$

нет конечно, нить свисает вертикально, но формула неправильная

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 14:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
anik в сообщении #544169 писал(а):
$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.

Это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 14:50 
Заблокирован


30/07/09

2208
ewert в сообщении #544182 писал(а):
anik в сообщении #544169 писал(а):
$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.
Это неверно.
Вы не забыли, что у меня $m$ - это не масса всей нити, а масса единицы длины нити?

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 15:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вроде бы так на самом деле: $$\dfrac{mgx^2}{2l}-\dfrac{mgR^2}{l}\left(1-\cos\dfrac{l-x}{R}\right)-\dfrac{mgx_0^2}{2l}+\dfrac{mgR^2}{l}\left(1-\cos\dfrac{l-x_0}{R}\right)=\dfrac{J\dot x^2}{2R^2}+\dfrac{m\dot x^2}{2}$$

anik в сообщении #544186 писал(а):
Вы не забыли, что у меня $m$ - это не масса всей нити, а масса единицы длины нити?

Нет, не забыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 15:37 
Заблокирован


30/07/09

2208
ewert в сообщении #544182 писал(а):
anik в сообщении #544169 писал(а):
$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.

Это неверно.
Тогда объясните, что здесь по-вашему неверно!

 Профиль  
                  
 
 Re: нить на катушке
Сообщение01.03.2012, 16:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
anik в сообщении #544205 писал(а):
что здесь по-вашему неверно!

Вы не учли, что катушка с намотанным участком нити не сбалансирована.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 118 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group