2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Корни уравнения двоичной степени
Сообщение25.02.2012, 18:18 
Аватара пользователя


05/02/06
387
Kакие стандартные методы существуют чтобы найти корни уравнения $$\left ( 1+\sqrt{x} \right )^{2^n}+\left ( 1-\sqrt{x} \right )^{2^n}=0$$
Возможно полезным будет то, что корни уравнения $\left ( 1+\sqrt{x} \right )^{2^n}-\left ( 1-\sqrt{x} \right )^{2^n}=0$ это $-tan^2\left (\pi k/{2^n}\right )$, где $k=1,2...\frac{n-1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение25.02.2012, 18:43 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Действительных корней нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение25.02.2012, 20:20 
Аватара пользователя


05/02/06
387
Ещё бы

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение25.02.2012, 20:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну давайте начнём с того, что модули обоих слагаемых не могут различаться. Следовательно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение25.02.2012, 22:10 
Аватара пользователя


05/02/06
387
Вы хотите сказать что если комплексные корни существуют, они будут отличаться только аргументом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение26.02.2012, 10:40 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
mihiv в сообщении #542511 писал(а):
Действительных корней нет.

Действительные корни все же есть.$$x=-\tg ^2\left (\frac {\pi (2k+1)}{2^{n+1}}\right ),k=1,\dots ,2^n-1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение26.02.2012, 16:36 
Аватара пользователя


05/02/06
387
Я в MathCad получил аналогичный результат
$$\frac{\left ( 1-exp(\frac{i\pi }{2^{n+1}}) \right)^2}{\left (1+exp(\frac{i\pi }{2^{n+1}}) \right )^2}$$
Однако, для $\left ( 1+\sqrt{x} \right )^{2^n}-\left ( 1-\sqrt{x} \right )^{2^n}=0$ единственное решение которое он находит это $x=0$, поэтому $-tan^2\left (\pi k/{2^n}\right )$, где $k=1,2...\frac{n-1}{2}$ это наверное неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение26.02.2012, 17:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihiv в сообщении #542705 писал(а):
$$x=-\tg ^2\left (\frac {\pi (2k+1)}{2^{n+1}}\right ),k=1,\dots ,2^n-1.$$

Только $k=0,1,\dots ,2^{n-1}-1.$

Alik в сообщении #542858 писал(а):
поэтому $-tan^2\left (\pi k/{2^n}\right )$, где $k=1,2...\frac{n-1}{2}$ это наверное неправильно.

Нет, это тоже правильно, не считая того, что опять же диапазон для $k$ перепутан (он тот же, что и в другом уравнении).

Вообще ведь всё очевидно: степени $2^n$ снимаем (с домножением на соотв. общий корень из плюс или минус единицы) -- и получаем линейное уравнение для корня из икса.

И уж тем более заранее должно было быть очевидно, что корни могут быть в обоих случаях только вещественными (и при этом только неположительными): ведь только при значениях $\sqrt x$, лежащих на мнимой оси, возможно равенство $|1+\sqrt x|=|1-\sqrt x|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение26.02.2012, 18:06 
Аватара пользователя


05/02/06
387
ewert в сообщении #542875 писал(а):
Только $k=0,1,\dots ,2^{n-1}-1$
Для второго уравнения (разность) множитель $2k+1$ работает, а для первого (сумма) - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение26.02.2012, 18:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alik в сообщении #542899 писал(а):
Для второго уравнения (разность) множитель $2k+1$ работает, а для первого (сумма) - нет.

Во-первых, наоборот, а во-вторых, всё работает: $$\sqrt[2^n]{1}=e^{\frac{2\pi k}{2^n}},\qquad\sqrt[2^n]{-1}=e^{\frac{\pi+2\pi k}{2^n}};$$ вот и вся разница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение26.02.2012, 20:51 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Переехали в учебный раздел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение26.02.2012, 23:12 
Аватара пользователя


05/02/06
387
Пусть $n=4$, тогда $k=2^{n-1}-1=7$ и $x=-\tg ^2\left (\frac {\pi (2k+1)}{2^{n+1}}\right )$. Но для этого $\left ( 1+\sqrt{x} \right )^{2^n}+\left ( 1-\sqrt{x} \right )^{2^n}=0$ не выполняется, или я что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение27.02.2012, 00:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alik в сообщении #543017 писал(а):
не выполняется, или я что-то не так понял?

Возможно, Вы просто не заметили, что корень из этого икса -- чисто мнимый. А потом, после возведения в степень каждой скобки из этих двух комплексно сопряжённых -- получаются снова чисто мнимые числа, и опять же образующие сопряжённую пару.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение27.02.2012, 01:17 
Аватара пользователя


05/02/06
387
Я всего лишь пытаюсь записать конечный ответ. Решением для $k=1$ являются $-tan^2\left (\pi/{2^n}\right )$ и $-tan^2\left (\pi/{2^{n+1}}\right )$, осталось разобраться с периодом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения двоичной степени
Сообщение27.02.2012, 05:36 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Alik в сообщении #542499 писал(а):
Kакие стандартные методы существуют чтобы найти корни уравнения $$\left ( 1+\sqrt{x} \right )^{2^n}+\left ( 1-\sqrt{x} \right )^{2^n}=0?$$

Я знаю 2 способа решения.
Чтобы упростить выкладки я сделаю 2 замены: $\sqrt x =: it$ и $2^n =: m.$
Уравнение при этом перепишется в виде $$(1+it)^m = -(1-it)^m .$$

I способ.
Модуль левой части уравнения равен модулю правой. Следовательно $t\in\mathbb{R}.$ Поэтому $1-it = \overline{1+it} .$ Таким образом $$(1+it)^m = -\overline{(1+it)^m},$$ т.е. число $(1+it)^m$ чисто мнимое. Следовательно аргумент $(1+it)^m$ равен $(k+\frac 12 )\pi i,$ т.е. $$\arctg t=\arg(1+it) =\frac {2k+1}{2m}\pi i.$$

II способ.
Разделив уравнение на $(1-it)^m$ получаем: $\left(\frac{1+it}{1-it}\right)^m = -1,$ т.е. $$\frac{1+it}{1-it}= e^{\frac{2k+1}m \pi i}.$$ Остаётся решить дробно-линейное уравнение.

(Оффтоп)

Впервые мне аналогичное уравнение встретилось около 15 лет назад, в доказательстве формулы разложения синуса в бесконечное произведение.

Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group