2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти экстремумы, определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 18:34 


25/10/09
829
Найти экстремумы. (получился Гессиан нулевой, что делать?)

$z=x^2+12xy+2y^2$

При условии

$4x^2+y^2=25$

$L=x^2+12xy+2y^2+\lambda(4x^2+y^2-25)$

1) Решаем систему уравнений (ответ проверял с помощью математического пакета, решил правильно)

$L'_x=2x+12y+8\lamda x=0$

$L'_y=12x+4y+2\lambda y=0$

$4x^2+y^2=25$

Находим 2 значения $\lambda_1=2$ и $\lambda_2=-17/4$

И различные точки, одна из которых $(2;-3)$.

2)Проверяем достаточные условия при $\lambda_1=2$ в точке $(2;-3)$

$L_{xx}=2+18\lambda=18$

$L_{xy}=12$$

$$L_{yy}=4+2\lambda=8$$


Гессиан

$H=\begin{vmatrix} 18 & 12 \\ 12 & 8 \\  \end{vmatrix} =0$

Как быть дальше? Слышал, что нужно выводы делать на основе второго дифференциала. Но как?

$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1901
СПб
Гессиан и есть дискриминант этого второго дифференциала -- это квадратичная форма, являющаяся, в данном случае, полным квадратом.

Почему бы с самого начала не сделать замену $2x=5\cos t$, $y=5\sin t$ и искать экстремум функции одной переменной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 18:41 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
В точке, которую хотите проверить на оптимум, проведите касательную к множеству ограничений. Проводите прямую через $0$, параллельную этой касательной. Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 19:01 


25/10/09
829
alcoholist в сообщении #540580 писал(а):
Гессиан и есть дискриминант этого второго дифференциала -- это квадратичная форма, являющаяся, в данном случае, полным квадратом.

Почему бы с самого начала не сделать замену $2x=5\cos t$, $y=5\sin t$ и искать экстремум функции одной переменной?

Да, спасибо, так будет гораздо проще. А можно ли все-таки найти экстремум как-то через второй дифференциал?

-- Вс фев 19, 2012 19:08:58 --

мат-ламер в сообщении #540581 писал(а):
В точке, которую хотите проверить на оптимум, проведите касательную к множеству ограничений. Проводите прямую через $0$, параллельную этой касательной. Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.


Спасибо. Касательная плоскость в точке $(2;-3)$

$8(x-2)+2(y+3)=0$

$8x+2y-10=0$

Прямая должна иметь направл. вектор перпендикулярный $(8;2)$ Допустим $(-2;8)$

$\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y}{4}$

$y=-4x$

Как-то так. Правильно?

Цитата:
Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.


Вот это вот не понял. Все-таки можно с помощью второго дифференциала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1901
СПб
integral2009 в сообщении #540593 писал(а):
Цитата:
Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.


Вот это вот не понял. Все-таки можно с помощью второго дифференциала?



Матрица Гессе и есть матрица второго дифференциала

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 19:32 


25/10/09
829
alcoholist в сообщении #540609 писал(а):
integral2009 в сообщении #540593 писал(а):
Цитата:
Дальше исследуете на положительную определённость ограничение гессиана на этой прямой.


Вот это вот не понял. Все-таки можно с помощью второго дифференциала?



Матрица Гессе и есть матрица второго дифференциала


Хорошо. Просто в задании сказано - методом Лагранжа и я бы его хотел понять до конца, что именно делать в таких случаях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5486
Новосибирск
Можно, мат-ламер уже говорил как. Вот ровно то, что он сказал:
Дифференцируете уравнение связи, подставляете найденную точку и получаете линейную связь типа $dy=kdx$, подставляете её в Ваш
integral2009 в сообщении #540575 писал(а):
$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2$

и получаете типа $d^2L=Kdx^2$. Вот теперь смотрите знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение19.02.2012, 20:04 


25/10/09
829
bot в сообщении #540618 писал(а):
Можно, мат-ламер уже говорил как. Вот ровно то, что он сказал:
Дифференцируете уравнение связи, подставляете найденную точку и получаете линейную связь типа $dy=kdx$, подставляете её в Ваш
integral2009 в сообщении #540575 писал(а):
$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2$

и получаете типа $d^2L=Kdx^2$. Вот теперь смотрите знак.


Вот так понятно, спасибо.

$8x+2yy'=0$

$16-6y'=0$

$dy=\dfrac{8}{3}dx$

$d^2L=18dx^2+24dxdy+8dy^2=18dx^2+24dx\dfrac{8}{3}dx+8\dfrac{64}9dx^2>0$

Что-то мне подсказывает, что это минимум. (По аналогии с первой производной, там так, если $y''<0$ при $y'=0$) Но почему и правильно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение20.02.2012, 03:15 


25/10/09
829
Чего-то туплю. В этой точке минимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение09.02.2015, 21:26 


09/02/15
6
alcoholist в сообщении #540580 писал(а):
Гессиан и есть дискриминант этого второго дифференциала -- это квадратичная форма, являющаяся, в данном случае, полным квадратом.

Почему бы с самого начала не сделать замену $2x=5\cos t$, $y=5\sin t$ и искать экстремум функции одной переменной?


Не удержался, чтобы не поправить:
Гессиан - это все таки не квадратичная форма, это матрица квадратичной формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремумы, определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение09.03.2015, 05:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1901
СПб
hitakiry в сообщении #976010 писал(а):
Не удержался, чтобы не поправить:
Гессиан - это все таки не квадратичная форма, это матрица квадратичной формы.


Гессиан как и Вронскиан, Якобиан, Вандермондиан и т.д. -- это определители. В отличие от матрицы Гессе, матрицы Вронского, матрицы Якоби и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремумы, определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение09.03.2015, 06:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7239
Hogtown
alcoholist в сообщении #987697 писал(а):
Гессиан как и Вронскиан, Якобиан, Вандермондиан и т.д. -- это определители.

А как насчет Лапласиана и Д'Аламбертиана? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремумы, определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение09.03.2015, 09:18 
Заслуженный участник


11/05/08
31275

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #987697 писал(а):
В отличие от матрицы Гессе, матрицы Вронского, матрицы Якоби

, одной из которых не бывает

(а так -- да; но дискриминант -- это всё-таки не форма)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремумы, определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение10.03.2015, 20:48 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
alcoholist в сообщении #987697 писал(а):
Гессиан как и Вронскиан, Якобиан, Вандермондиан и т.д. -- это определители.

Я извиняюсь, а что, надо их писать с большой буквы? Или просто здесь это для большей наглядности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремумы, определитель матрицы Гессе вырожден
Сообщение10.03.2015, 23:04 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
мат-ламер в сообщении #988326 писал(а):
Или просто здесь это для большей наглядности?

Для, конечно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group