2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуум
Сообщение15.02.2012, 22:38 


04/02/11
10
Добрый день. Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
множество последовательностей 0 и 1

-- Ср фев 15, 2012 22:43:27 --

постройте биекцию с единичным отрезком

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 22:47 


04/02/11
10
Я понимаю, что для того, чтобы доказать равномощность множества Кантора отрезку, нужно построить биекцию. Только как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Множество Кантора состоит из каких чисел? У которых что? Которые записываются как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 22:54 


04/02/11
10
Из единичного отрезка C0 = [0,1] удалим среднюю треть, т. е. интервал ,(1/3, 2/3). Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C_1=[0,1/3]\[2/3,1] состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C2. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C3. Обозначим через C пересечение всех Ci. Множество C называется Канторовым множеством.
Вообще описание можно найти, например, в википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Спасибо, это я уже когда-то читал. Я говорю: свойства у него какие? Знаете? Про троичную систему там что-то было...

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 22:57 


04/02/11
10
Сейчас покопирую из википедии.
* Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
o В частности, оно замкнуто.
* Канторово множество континуально. В частности,
o Канторово множество не счётно
* Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
* Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность равную \ln2/\ln3\approx 0,63. В частности,
o Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну вот, видите: континуально. Вам же это было нужно? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 23:01 


04/02/11
10
Да, я читал доказательство с троичной системой, но там не доказывается, почему элементы мно-ва К. представляются без двойки, и вообще хотелось бы чего-нибудь покрасивее.

-- Ср фев 15, 2012 23:02:20 --

А доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение15.02.2012, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Представляются они без двойки единицы потому, что всех, у кого она была на первом месте после запятой, вырезал какой-то маньяк с ножницами на первом шаге. Всех, у кого она на втором месте... улавливаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуум
Сообщение09.06.2012, 17:52 


04/09/11
149
На первом шаге выкидывается интервал (1/3; 2/3) и, если перейти к троичной системе, получим, что все точки этого интервала имеют в десятичной записи $0,\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha_{n}...$ $\alpha _{1} = 1$. С остальными интервалами похожая история: будут выкидываться интервалы, в которых i-ая цифра десятичной записи равна единице.

На концах интервалов возникнет небольшая проблема. Вернёмся к первому шагу: концы выкинутого интервала имеют двойное представление в троичной системе:
1/3 = 0,100...
2/3 = 0,122...
Договоримся использовать для таких точек ту форму записи, в которой отсутствуют единицы. Также отметим, что этих точек счётное число: имеем счётное число шагов и на каждом таких "точек деления" конечное количество, то есть всего их число счётное.

Что делается дальше, точно не помню, но, кажется, как-то так. В итоге получим, что множество Кантора состоит из точек, троичная запись которых допускает представление без единиц. Между точками, которые в принципе единиц не содержат, построим биекцию с двоичными дробями (из отрезка [0; 1]), допускающими однозначное представление. А дробей, допускающих двоякое представление, число счётное. Между ними и "точками деления" множества Кантора (которых тоже число счётное) биекцию построить просто.

В итоге получим биекцию множества Кантора и отрезка [0; 1], а отрезок - несчётное множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуум
Сообщение10.06.2012, 09:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Asker Tasker в сообщении #582673 писал(а):
А дробей, допускающих двоякое представление, число счётное. Между ними и "точками деления" множества Кантора (которых тоже число счётное) биекцию построить просто

, но не нужно. Это общий факт: если два бесконечных множества различаются на не более чем счётное, то эти два множества равномощны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество Кантора
Сообщение12.06.2012, 20:23 


04/09/11
149

(Оффтоп)

ewert

Vladimir Gorlin в сообщении #539142 писал(а):
Я понимаю, что для того, чтобы доказать равномощность множества Кантора отрезку, нужно построить биекцию. Только как это сделать?

Если я правильно понял вопрос, автор хотел именно "построение биекции" уточнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуум
Сообщение31.07.2012, 14:33 


31/07/12
5
A если привести такой контрпример:

При каждом разбиении образуются отрезки, концами которых являются рациональные числа. Поставим в соответствие каждому отрезку рациональное число являющееся, скажем, началом отрезка. Множество рациональных чисел счетно, следовательно множество отрезков то же счетно. Выходит совершенное канторово множество счетно.

Возникло противоречие с утверждением, что оно континуально.

Где ошибка в таком доказательстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуум
Сообщение31.07.2012, 15:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
taburet в сообщении #601475 писал(а):
Где ошибка в таком доказательстве?

Нигде, поскольку доказательство просто отсутствует. О каких вообще отрезках идёт речь и как они связаны с канторовым множеством?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group