2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решить дифур
Сообщение05.02.2012, 22:25 


20/07/07
834
Выразить $r(t)$ из уравнения:
$$ r'(t)=\frac{f^{\prime}(t)g^{\prime\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)}{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}-\frac{\sin r(t)}{a}\sqrt{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение05.02.2012, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
сначала скажите что такое $f$ и $g$, а потом приведите попытки решения)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение05.02.2012, 22:39 


20/07/07
834
Любые функции. Пытался решить с помощью CAS, но она не берет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение05.02.2012, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
и не возьмет... даже если $f'(t)=\sin t^2$, $g'(t)=\cos t^2$...

вот разложить в ряд по обратным степеням $a$ вероятно можно

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 00:19 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ваше уравнение наверняка имеет геометрическую интерпретацию. Одно из слагаемых очень похоже на кривизну плоской кривой. Непонятно только, откуда могло получиться $\sin r(t)$. Можете объяснить?

Похоже, Вы рассматриваете кривую, заданную параметрически, $t$ -- параметр. Если перейти к натуральному параметру $s$, который связан с $t$ уравнением $\frac{ds(t)}{dt}=\sqrt{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}$ , уравнение упростится:$$\frac{dr(s)}{ds}+\frac 1 a \sin r(s) = k(s)\;,$$где кривизна $k(s)$ известна:$$k(s)=\frac{df}{ds}\frac{d^2g}{ds^2}-\frac{dg}{ds}\frac{d^2f}{ds^2}=\pm\sqrt{\left(\frac {d^2f}{ds^2}\right)^2+\left(\frac {d^2g}{ds^2}\right)^2}$$Но что такое $\sin r$ ? Разве такое бывает? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 10:15 


20/07/07
834
Уравнение взято отсюда:

http://math.stackexchange.com/questions ... ike-curves

Изначальный источник:

http://www.mathcurve.com/courbes2d/trac ... oire.shtml

-- Пн фев 06, 2012 11:50:37 --

У меня получилось:

$r(t)=2 \arctan \left(\frac{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \tan \left(\frac{1}{2} \sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \int \sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2} \, dt\right)+1/a}{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2}}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 11:24 


20/07/07
834
Черт, почему нельзя свои сообщения исправлять или удалять?

Вот так правильнее, конечно:


$r(t)=2 \arctan \left(\frac{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \tan \left(\frac{1}{2} \sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2-a^{-2}} \int \sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2} \, dt\right)+1/a}{\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2}}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
это какое-то частное решение?

Где постоянная интегрирования?

-- Пн фев 06, 2012 12:04:19 --

рассмотрим предельный случай $a\to+\infty$

тогда Ваше решение превратится в $r(t)=\sqrt{f''^2+g''^2}\int\sqrt{f'^2+g'^2}dt...$

может быть, все-таки, там $r(t)=\sqrt{f'^2+g'^2}\int\sqrt{f''^2+g''^2}dt$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 12:45 


20/07/07
834
Короче, я взял уравнение

$$\frac{dr(s)}{ds}+\frac 1 a \sin r(s) = k(s)\;,$$

Получил такое решение:

$$r(s)=2 \arctan \left(\frac{\sqrt{k^2-a^{-2}} \tan \left(\frac{1}{2} \sqrt{k^2-a^{-2}} \left(C+s\right)\right)+1/a}{k}\right)$$

Дальше подставил

$$s(t)=\left.\int \sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2} \, dt$$

$$k(t)=\sqrt{f''(t)^2+g''(t)^2}$$

-- Пн фев 06, 2012 13:48:45 --

А, не, все неправильно. Не знаю, как решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Первая дробь в правой части интегрируется легко, получается $\arctg\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$
Возбудился было и начал сдвигать, но быстро разочаровался - фиг его знает, что с синусом делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 14:58 


29/09/06
4552
Я когда-то баловался с трактрисами, в т.ч. на форуме, и, кажется, всё про них изучил.
В частности, меня интересовала связь между натуральным уравнением кривой ($k(s)$, где $k$ --- кривизна, а $s$ --- длина дуги) и натуральным уравнением $q(l;N)$ трактрисы с поводком длины $N$, и я её получил. Первые шаги описаны здесь. Ещё не осознал, что Вас конкретно интересует...
Проверять абстрактные уравнения на соответствие задаче о трактрисе, признаться, немного лень

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 15:26 


29/09/06
4552
Nxx в сообщении #535600 писал(а):
$$ r'(t)=\frac{f^{\prime}(t)g^{\prime\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)}{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}-\frac{\sin r(t)}{a}\sqrt{f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2}$$
svv в сообщении #535641 писал(а):
Но что такое $\sin r$ ? Разве такое бывает? :-)
ТС ввёл крайне неудачное обозначение для угла, чем и вызвал недоумение svv. У меня оно было записано в виде
Алексей К. в сообщении #87731 писал(а):
Подстановка $\nu(s)=\theta(s)-\tau(s)$ приводит его к виду
$$ \nu^\prime_s=k(s)-\frac{\sin \nu(s)}{N},$$
где $k(s)=\theta^\prime_s$ --- известная кривизна тропы.
Суммы квадратов производных пропали, т.к. я работал с натуральной параметризацией. В той теме дело до конца не доведено: переход от натурального уравнения ведущей кривой (тропы) к н.у. самой трактрисы там не показан.

А уравнение превращается... превращается уравнение... в Риккати! Так что порешать его не надейтесь. В случае окружности вполне себе разрешается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 15:58 


20/07/07
834
bot в сообщении #535733 писал(а):
Возбудился было и начал сдвигать, но быстро разочаровался - фиг его знает, что с синусом делать.


Кстати, если вместо синуса поставить экспоненту, то кое-как решается. Но вот как зная решение с экспонентой найти решение с синусом - не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 16:06 


29/09/06
4552
bot в сообщении #535733 писал(а):
фиг его знает, что с синусом делать.
Я тогда тоже не знал, но посмотрел книжку при синусы --- там переходят к тангенсу половинного угла, и вообще вся это тригонометрия кагбэ на фиг пропадает. Клёвый финт, между прочим, я уж столько раз применял! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить дифур
Сообщение06.02.2012, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
В эту сторону я смотрел - если игнорировать первое слагаемое, то уравнение с разделяющимися переменными и для интегрирования тогда стандартная замена через половинный угол. Как теперь присобачить отброшенное первое слагаемое. Издалека не увидел, а поближе подойти лениво было - не показалось перспективным тем более, что уже взятый интеграл остаётся интегралом, то есть крючок такой неразогнутый остаётся.

-- Пн фев 06, 2012 20:29:54 --

А может быть и зря поближе не подошёл - там ведь слева при интегрировании что то вроде логарифма тангенса половины получится, так что $r$ выразится через арктангенс эспоненты неразогнутого интеграла, а интеграл от первого слагаемого тоже арктангенс ... Что-то в этом может быть и есть, но ... всё равно лениво.

(Оффтоп)

Настало время вечерних мультиков

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group