2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замыкание открытого шара - замкнутый шар (в ЛНП)
Сообщение05.02.2012, 02:56 


05/02/12
6
Может ли кто подсказать: как доказать, что в ЛНП замыкание открытого шара есть замкнутый шар?
То, что замкнутый шар есть подмножество замыкания открытого шара, я доказал, а вот обратное включение не получается. Если быть еще более точным, то я не могу найти элемент, который бы лежал одновременно и в произвольной маленькой окрестности точки границы и в исходном шаре. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание открытого шара - замкнутый шар
Сообщение05.02.2012, 03:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
в любом метрическом пространстве $x\in {\rm Cl} A$ равносильно $\rho(x,A)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание открытого шара - замкнутый шар
Сообщение05.02.2012, 10:06 
Заслуженный участник


11/05/08
30883
Walsh в сообщении #535333 писал(а):
То, что замкнутый шар есть подмножество замыкания открытого шара, я доказал, а вот обратное включение не получается.

По-моему, Вы что-то перепутали. Очевидным является как раз обратное включение: замыкание открытого содержится в замкнутом. Т.е. из $x_n\to x\ \Leftrightarrow\ \|x_n-x\|\to0$ и $\|x_n\|<1$ следует $\|x\|\leqslant1$ -- просто по неравенству треугольника.

А вот в обратную сторону уже несколько менее тривиально, тем более что в произвольных метрических пространствах оно и неверно. В нормированных к любой точке сферы можно сколь угодно приблизиться изнутри по радиусу, в метрических же это может и не пройти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание открытого шара - замкнутый шар
Сообщение05.02.2012, 15:46 


05/02/12
6
Ewert, как Вы абсолютно верно заметили, я перепутал.
Я действительно доказал, что замыкание открытого шара в ЛНП содержится в замкнутом. Доказательство следующее:
Пусть $x \in \overline{S_{r}(x_0)}$ и пусть $\varepsilon>0$.
Тогда существует $x'\in S_{r}(x_0)$: $\left\|x'-x\right\|< \varepsilon$.
Тогда оценим

$$
  \|x-x_{0}\| \leq \|x-x'\|+\|x'-x_{0}\|<r+\varepsilon.
$$

Отсюда, в силу произвольности $\varepsilon$ $\|x-x_{0}\| \leq r$.
Наши доказательства одинаковы.

А вот как быть все таки с обратным включением? Конкретно как приблизиться по радиусу?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание открытого шара - замкнутый шар
Сообщение05.02.2012, 16:02 
Заслуженный участник


11/05/08
30883
Walsh в сообщении #535468 писал(а):
Конкретно как приблизиться по радиусу?

Вот по радиусу и приблизиться. Пусть $\|x\|=1$. Выберем любую числовую последовательность $\theta_n\to1-0$ и рассмотрим $x_n=\theta_nx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание открытого шара - замкнутый шар (в ЛНП)
Сообщение05.05.2017, 15:39 
Модератор


20/03/14
7231
 !  dashabalashova
Замечание за оффтоп. Оффтоп отделен в «Больший шар в меньшем»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group