2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение функции в ряд Фурье
Сообщение15.12.2006, 18:11 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
Требуется разложить функцию
$ f(x)=
\left\{ \begin{array}{l}
x, при x\in [0,1],\\
0, при x\in [1,2]
\end{array} \right.
$
в тригонометрический ряд Фурье по системе косинусов.
Период у меня получился равным 2, правильно ли это?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Во-первых, Ваша функция неправильно определена: в точке 1 она равна и 0, и 1.
Во-вторых, если функцию надо разложить по системе косинусов, то ее надо продолжить в отрицательную область четным образом, т.е. симметрично относительно оси Оу. А значит, период будет не 2, а 4.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
По моему задача поставлена вообще не очень корректно. Дело в том, что коэффициенты ряда Фурье подразумевают под собой интеграл продуктов заданной функции с косинусом или синусом. Я так понимаю, что "под системой косинусов" спрашивается именно коэффициент $$a_n$$, но учитывая то, что функция $$x$$-нечётная, то эти коэффициенты будут равняться 0... Кроме того, действительно как-то странно задан промежуток.

Хотя я сейчас подумала, что на ТАКОМ промежутке действительно $$a_n$$ не обнулится. Что касается самого вопроса, Вам надо посчитать не промежуток (или период), а интеграл на этом периоде.

 Профиль  
                  
 
 Хм.
Сообщение15.12.2006, 19:08 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Для разложения по системе косинусов берется четное продолжение в отрицательную полуось (интервал) (то есть в общем случае для $a_n$ надо считать интеграл, а $b_n = 0$, если $f(x)$ - интегрируемая). А интегрировать надо от нуля до двух.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
$$f(x) = x$$ - нечётная функция (хотя на этом интервале она и совпадает с $$|x|$$). Я думаю, в задании специально задан такой специальный интервал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 20:26 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
А может интервал так задан для упрощения задачи? (Двоечка перед интегралом сократится :lol:.)

Добавлено спустя 45 минут 27 секунд:

"Мальчики", тут такое дело. Я говорю, что получается $b_n = 0$ ($n=1,2,..$), $a_n=\int\limits_0^1 x \cos  \left(\frac{\pi n}{2}x\right)dx$ ($n=0,1,2,..$), а Capella -- нет. Кто рассудит?

Добавлено спустя 7 минут 53 секунды:

Похоже, достигли косенсуса без "мальчиков" :lol:.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Насчёт интеграла я не возражала, просто я думала, что период должен задаваться по компактноному носителю. Но скорее всего ты права. Тогда ещё получается $$\frac 1 2$$ перед интегралом?!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 20:44 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Capella писал(а):
Тогда ещё получается $$\frac 1 2$$ перед интегралом?!


Там перед интегралом стоит фактор $\frac{2}{l}$ при периоде $2l$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2006, 11:14 
Аватара пользователя


21/10/05
167
Иркутск
Извиняюсь, очепяточка вышла, конечно, функция задана так:
$ f(x)=
\left\{ \begin{array}{l}
x, при x\in [0,1],\\
0, при x\in (1,2]
\end{array} \right.
$
Так все таки функцию надо продлить симметрично относительно OY? И тогда l=2, а период 4 и a_{n}=\int\limits_0^1 x\cos \left(\frac{\pi n} {2}x\rigth) dx?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2006, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Cat писал(а):
И тогда l=2, а период 4 и a_{n}=\int\limits_0^1 x\cos \left(\frac{\pi n} {2}x\rigth) dx?

Да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2006, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Cat писал(а):
Так все таки функцию надо продлить симметрично относительно OY?

Выбор периода - ето ли Ваш выбор или он должен быть задан условием. Без етого вообще смысла нет, независимо от определения функции.
В любом случае, помощь оказана:
LynxGAV писал(а):
Там перед интегралом стоит фактор $\frac{2}{l}$ при периоде $2l$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group