2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Простые числа Жермен
Сообщение25.01.2012, 11:10 


31/12/10
1555
Простые числа Жермен - это числа типа $p_t=2p_s+1$.
Бесконечность таких чисел можно доказать, используя разработанную ранее методику, т.е. с помощью ПСВ по модулю М (подробности здесь)
Для этого надо рассматривать числа Жермен в виде разностей вычетов ПСВ.
Здесь возможны два варианта: $d_1=p_t-1=2p_s,\;d_2=p_t-p_s=p_s+1,\;$
которые можно объединить в одну группу вычетов ПСВ.

$F[6]=(0,\;p_t-p_s,\;p_t-1,\;p_t+1,\;p_t+p_s,\;2p_t).$ (подробности здесь)

Располагаем эту группу в диапазоне $Dp$ среди простых чисел ПСВ, в которой первая половина вычетов меньше модуля, а вторая половина вычетов больше модуля М (за вычетом самого модуля).

$...-p_t,....-p_s,.....-1 (M) +1,.....+p_s,.......+p_t,...$

Числа Жермен возможны только при $p_s=6k-1,\;p_t=12k-1,\;$ т.к. $p_t+1=2(p_s+1)$

Группу $F[6]$ необходимо проверить на проходимость по модулям $p=3,\;p=5.$ (подробности здесь)
Находим модули сранений вычетов группы $F[6].$ (вычисления опущены)
Числитель - модуль, знаменатель - их число.

$(p_t-p_s)/2,\;(p_t+p_s)/2,\;(p_t-1)/2,\;(p_t+1)/2,\;(p_s-1)/2,\;(p_s+1)/2,\;2p_t,\;2p_s,\;2.$

Учитывая, что $p_t-p_s=p_s+1,\;p_t-1=2p_s,\;$ будем иметь:

$(p_t+p_s)/2,\;(p_t+1)/2,\;(p_s-1)/2,\;(p_s+1)/4,\;2p_s/3,\;2p_t,\;2.$

Проходимость по модулю $p=3,\;K(5)=3+m(3)-6.$
Простые числа Жермен из класса $6k-1,\;$ поэтому модули
$(\;p_t+1)=6k,\;(p_s+1)=6k,\;$ отсюда $K(3)=3+6-6=3.$
Проходимость по модулю $p=5,\;K(5)=5+m(5)-6.$
Последняя цифра простых чисел может быть: 1, 3, 7, 9, т.е.
$p_t=10x\pm 1,\;p_t=10x\pm 3,\;p_s=10x\pm1,\;p_s=\pm3.$
Отсюда, при $p_t=10x+1$ или $p_s=10x+1$ модули $(p_t-1)=10x,\;(p_s-1)=10x, \;K(5)=5+2-6=1.$
При $p_t=10x-1,\;p_s=10x-1,$ модули $(p_t+1)=10x,\;(p_s+1)=10x,\;K(5)=5+4-6=3.$
При $p_s=10x+3,\;p_t=10x-3$ модуль $(p_t+p_s)=10x,\;K(5)=5+2-6=1.$
Таким образом, группы $F[6]$ проходят в ПСВ по любому модулю. Число таких групп равно:
$A_6\varphi_6(M)$ (подробности здесь)
Сама функция $\varphi_6(M) - $ нечетная. Коэффициент $A_6=\prod K(p)/\varphi_6(p).$
Знаменатель $\varphi_6(p) $ нечетный, числитель $K(p) - $ нечетный при четных $m(p),\;n.$
В нашем случае $m(p)=2, ..4,...6;\;n=6,\;$ т.е. число групп $F[6] - $ нечетное.
Одна группа находится в центре ПСВ среди простых чисел.
В выборе модуля мы не ограничены и в любой ПСВ(М) есть простые числа Жермен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки чисел Жермен
Сообщение01.04.2012, 09:55 


31/12/10
1555
Как долго могут повторяться числа Жермен, следуя друг за другом?
Если обозначить числа Жермен буквой "$g$", то сколько таких чисел
могут составлять последовательность:
$(g_1, g_2, g_3,....g_n)$ где $g_{n+1}=2g_n+1$.
Например. (2, 5, 11, 23, 47) или (89, 179, 259, 719, 1439, 2879)
Последние члены такой последовательности по определению не относятся
к числам Жермен, но мы будем включать эти числа в последовательность.
Первый приведенный пример уникален, т.к. в дальнейшем нам не встретятся
последовательности, у которых первые члены имеют последнюю цифру 2 или 5.
Все другие последовательности с первым членом $10n+1$ будут
иметь только 3 элемента, т.к. на элементе $40n+7$ эта
последовательность закончится.
Интересен второй пример, где все элементы имеют вид $10x+9$
и такая последовательность не ограничивается последней цифрой числа.
Вопрос. Чем ограничено число элементов такой последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки чисел Жермен
Сообщение02.04.2012, 21:13 


31/12/10
1555
В предыдущем тексте допущена опечатка.
Вместо числа 259 надо поставить число 359.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 07:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Эту последовательность можно записать в виде:$p_k=45\cdot 2^k-1$,т.к. $2^{10}\equiv 1mod 11$,то $p_{10}\equiv 45-1\equiv 0mod 11$

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки чисел Жермен
Сообщение03.04.2012, 09:25 


31/12/10
1555
Да, но эта цепочка обрывается на $k=7.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 09:48 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Последовательность такого вида называется цепочкой Каннингэма 1-го рода.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cunningham_chain
В references есть ссылка на текущие рекорды (на конец 2011 года),
в частности цепочка из 17 простых чисел, начиная с
$2759832934171386593519$
Найдена Jaroslaw Wroblewski 27.05.2008

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 11:15 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
$2^6\equiv -1mod13,$поэтому $45\cdot 2^7-1=90\cdot 2^6-1\equiv 90(-1)-1\equiv 0 mod13$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 12:28 


31/12/10
1555
Cash
Мне кажется, что числа Жермен не нуждаются в дополнительном названии.
Вот если бы г-н Каннингэм вывел закономерность образования таких цепочек,
то тогда еще можно было бы согласится с названием "его" цепочек.
Хотя поиск таких цепочек тоже чего-то стоит.
Кстати, образование последовательностей простых чисел связано с ПСВ.
mihiv
И что из этого следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 13:52 
Заслуженный участник


12/09/10
1547

(Оффтоп)

Мне совершенно фиолетово, как ЭТО было бы справедливо назвать. Я просто указал устоявшееся название, общепринятый (по крайней мере в английской литературе) термин. Исключительно для того, чтобы Вы, либо любой заинтересовавшийся и имеющий желание с Вами подискутировать, вбив Cunningham chain в Google, смогли ознакомиться с уже наработанным результатом по данной теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 15:31 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
vorvalm в сообщении #555306 писал(а):
И что из этого следует?


Из этого следует,что в последовательности $p_k=45\cdot 2^k-1$ не может встретиться более 9 простых чисел Жермен подряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 16:15 


31/12/10
1555
А подробнее можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 17:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Поскольку $2^{10}\equiv 1 mod 11$,то $p_{10}\equiv 45\cdot 1-1\equiv 0mod 11,p_{20}\equiv 45\cdot 1\cdot1-1\equiv 0 mod 11$ и т.д.Таким образом каждое 10-е число последовательности делится на 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 17:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(формулы)

$a\equiv b \pmod{31}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 17:33 


31/12/10
1555
Совершенно верно.
Действительно, цепочки чисел Жермен состоят из взаимно простых чисел
и несравенимых с модулем $p_x$.
Отсюда число их не может быть больше $\varphi(p_x)$.
Вопрос лишь в том, как найти это p_x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение03.04.2012, 20:45 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Что такое $p_x$?
Из гипотезы Диксона следует, что для произвольного целого $k$ существует бесконечно много цепочек длины $k$. О гипотезе Диксона и гипотезе Шинцеля можно почитать у Рибенбойма в "Рекорды простых чисел".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group