2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 20:37 


24/12/11
60
Приветствую!
Решаю задачу:
На отрезок длины $d$ бросают две точки.
Найти а) функцию распределения расстояния между точкам
б) Математическое ожидание этого расстояния.

-- 21.01.2012, 20:42 --

Мат. ожидание нашёл довольно успешно, взяв двойной интеграл от $|x-y|$. В результате получил $\frac{d^3}{3}$
Столкнулся с проблемами при нахождении функции распределения. Пришло в голову интерпретировать условие как бросание точки в квадрат со стороной $d$.
Каков должен быть мой следующий шаг?

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 20:43 


19/05/10
3896
Россия
В начале определение функции распределения надо написать, для ее вычисления воспользоваться геометрической вероятностью, множество элементарных событий квадрат и смотрим площадь соответствующего подмножества

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:08 


24/12/11
60
т.е. будет выглядеть так?
$F = P(x < a; y < a) = P(xy<a^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:24 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Любопытно, что матожидание пропорционально кубу длины отрезка, а не квадрату.

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
Не забывайте, что Ваша случайная величина (назовем ее $X$) принимает значения от 0 до 1... Вот и считайте $F(a)=P(X\le a)$

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:33 


24/12/11
60
мат-ламер в сообщении #529649 писал(а):
Любопытно, что матожидание пропорционально кубу длины отрезка, а не квадрату.

Демонстрирую:
$M|\xi - \eta|= \int \limits _0^d \int \limits _0^d|x-y|dxdy=2 \int \limits _0^d \int \limits _0^d (y-x)dxdy=2 \int \limits _0^d \int \limits _0^y ydxdy - 2\int \limits _0^d \int \limits _0^y xdxdy=
2\int \limits _0^d ydy \bigg| _0^y - 2\int \limits_0^d dy\cdotp \frac{x^2}{2}\bigg|_0^y=2\int \limits_0^d y^2dy-\int \limits_0^d y^2dy=\frac{y^3}{3}\bigg|_0^d=\frac{d^3}{3} $

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31100
мат-ламер в сообщении #529649 писал(а):
Любопытно, что матожидание пропорционально кубу длины отрезка, а не квадрату.

Матожидание не может иметь иную размерность, чем каждая из координат.

Alex_CAPS в сообщении #529653 писал(а):
$M|\xi - \eta|= \int \limits _0^d \int \limits _0^d|x-y|dxdy$

Ну уже и неправда.

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:38 


24/12/11
60
alcoholist в сообщении #529652 писал(а):
Не забывайте, что Ваша случайная величина (назовем ее $X$) принимает значения от 0 до 1... Вот и считайте $F(a)=P(X\le a)$

не до одного, а до $d$
За случайную величину, которую мы обозначаем через $X$ предлагаете взять расстояние между точками?

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:38 
Заслуженный участник


12/08/10
949
А функция плотности какая? Вы на нее домножить забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
Конечно, до $d$.

Если вычислять матожидание как Вы, то матожидание функции $X=1$ будет не $1$, а $d^2$:(

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:44 


24/12/11
60
Null в сообщении #529658 писал(а):
А функция плотности какая? Вы на нее домножить забыли.

Ах да!
Очевидно распределение равномерное с плотностью $\frac{1}{d}$
Тогда $M|\xi - \eta| = \frac{d^2}{3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:48 
Заслуженный участник


11/05/08
31100
Кстати, насчёт функции распределения. Если хоть немножко внимательно всмотреться в картинку, то становится ясно, что функция распределения не может быть (на отрезке от нуля до длины отрезка) ничем иным, кроме как $F(x)=1-\alpha(d-x)^2$. Ну а уж альфа после этого мгновенно получается из условия сшивания в нуле. Т.е. считать ничего фактически и не нужно.

-- Сб янв 21, 2012 22:49:38 --

Alex_CAPS в сообщении #529662 писал(а):
с плотностью $\frac{1}{d}$
Тогда $M|\xi - \eta| = \frac{d^2}{3}$

И снова с размерностью всё не слава богу.

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 21:50 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Alex_CAPS в сообщении #529644 писал(а):
т.е. будет выглядеть так?
$F = P(x < a; y < a) = P(xy<a^2)$


Второе равенство неверно.

-- Сб янв 21, 2012 22:54:05 --

Alex_CAPS в сообщении #529662 писал(а):
Тогда $M|\xi - \eta| = \frac{d^2}{3}$


Очевидно же что величина, мат. ожидание которой Вы считаете, не может быть больше чем $d$. А полученное Вами значение - запросто может.

-- Сб янв 21, 2012 22:54:50 --

Ну и соображение о размерностях тоже никто не отменял.

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 22:01 


24/12/11
60
PAV в сообщении #529667 писал(а):
Очевидно же что величина, мат. ожидание которой Вы считаете, не может быть больше чем $d$. А полученное Вами значение - запросто может.

Корень зла в плотности распределения? А точнее в отсутствии квадрата...

-- 21.01.2012, 22:01 --

PAV в сообщении #529667 писал(а):
Второе равенство неверно.


Согласен

 Профиль  
                  
 
 Re: На отрезок бросают две точки
Сообщение21.01.2012, 22:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Alex_CAPS в сообщении #529673 писал(а):
Корень зла в плотности распределения? А точнее в отсутствии квадрата...


да

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group