Задача на построение

[Nataly-Mak]

Возникла задача интересная, никак не могу решить.
Дана конфигурация:



Имеется 12 точек, они на рисунке выделены и обозначены. Судя по рисунку конфигурация симметрична. Прямые AB, CD, EF, GH, IJ и KL должны быть параллельны.
(13-ая точка здесь в бесконечности, на неё не надо обращать внимание)

Требуется либо:
а) построить конфигурацию так, что все отмеченные точки будут иметь рациональные координаты, или доказать, что это невозможно;
б) указать метод точного геометрического построения конфигурации, чтобы обеспечить пересечение всех прямых в нужных точках, пусть даже эти точки не будут иметь рациональные координаты.

Я сделала несколько попыток нарисовать конфигурацию в рациональных координатах. Удивительно, но каждый раз две точки - G и H не лежат на прямых CK и DL соответственно.
Приведу рисунок одного из своих решений:



Очень любопытно, имеет ли задача какое-нибудь решение. Ведь как-то эту конфигурацию построили
(конфигурация взята из книги М. Гарднера "Путешествие во времени").

Параллельная тема на ПЕН:
http://e-science.ru/forum/index.php?sho ... 4306&st=80
Пока задачу никто не решил.

[nnosipov]

Симметричная картинка (с вертикальной осью симметрии) вроде бы действительно невозможна --- точка $G$ никак не попадает на прямую $KC$. Это можно проверить прямым вычислением. Но расстояние между ними можно сделать достаточно малым, сравнимым с диаметром синих точек на картинке.

[svv]

Могу подтвердить, что точного совпадения не получится.
С помощью проективного преобразования можно превратить ABLK в единичный квадрат и работать с ним, так, по-моему, приятнее.

[Nataly-Mak]

Я так и не поняла, имеет или не имеет задача какое-нибудь решение?

Написано "точного совпадения не получится". Что это значит? Точно данную конфигурацию построить невозможно? Но тогда как же её построили? Или она "сляпана" весьма приблизительно? Но тогда разве можно считать это решением задачи?

[nnosipov]

Nataly-Mak в сообщении #530584 писал(а):

Я так и не поняла, имеет или не имеет задача какое-нибудь решение?

Если речь идёт о симметричной картинке, то задача решения не имеет.

[Nataly-Mak]

Да хоть какую построить. Ну, а если несимметричную? Но чтобы были все нужные прямые и они пересекались в отмеченных точках. Кроме того обязательно условие параллельности шести прямых (о нём в первом посте).

О симметричности конфигурации я сделала вывод по картинке. Может, она совсем и несимметричная.

[nnosipov]

Nataly-Mak в сообщении #530591 писал(а):

О симметричности конфигурации я сделала вывод по картинке. Может, она совсем и несимметричная.

Несимметричную картинку линейным преобразованием можно превратить в симметричную (т.е. с вертикальной осью симметрии). Если считать, что $ABJI$ --- прямоугольник (выше я это предполагал), то точно не получится. Осталось попытаться найти решение в случае, когда $ABJI$ --- равнобедренная трапеция. Координатный метод вместе с какой-нибудь системой компьютерной алгебры позволят и здесь прийти к определённому ответу, можете попробовать.

[Nataly-Mak]

Если вы можете, пожалуйста, попробуйте.
Очень интересная задачка, хотелось бы узнать точное решение.

Но здесь. как уже говорила, возможны два варианта:
а) получить все точки конфигурации с рациональными координатами;
б) просто выполнить точное построение конфигурации (найти метод такого построения), неважно какие получатся координаты точек.

[nnosipov]

Nataly-Mak в сообщении #530615 писал(а):

Если вы можете, пожалуйста, попробуйте.
Очень интересная задачка, хотелось бы узнать точное решение.

Попробовал, и вот результат: таких конфигураций нет.

[Nataly-Mak]

Очень интересно!
Значит, М. Гарднер поместил в свою книгу несуществующую конфигурацию?

[svv]

Ну, Вы же прекрасно понимаете, в чём дело. Точного пересечения нужных прямых в одной точке Вы не добъётесь. Можно нарисовать такую конфигурацию, что прямые будут почти пересекаться в одной точке, и на рисунке это "почти" незаметно. Почти пересечение -- пожалуйста, в книге Гарднера.

[nnosipov]

Либо отрезки некоторых прямых у него не совсем прямые. Я вот помню с детства его книжку "Математические чудеса и тайны", там есть фокусы в таком духе.

[Nataly-Mak]

svv в сообщении #530740 писал(а):

Ну, Вы же прекрасно понимаете, в чём дело. Точного пересечения нужных прямых в одной точке Вы не добъётесь. Можно нарисовать такую конфигурацию, что прямые будут почти пересекаться в одной точке, и на рисунке это "почти" незаметно. Почти пересечение -- пожалуйста, в книге Гарднера.

Нет, я не понимаю в чём дело. Здесь речь идёт о точном решении задачи (посмотрите сами книгу, она есть в Сети, последняя глава).
Никаких фокусов здесь нет. Конфигурация должна существовать! В противном случае в книге просто лажа.

Я на ПЕН в какой-то теме выкладывала эту книгу, книга называется "Путешествие во времени".

[svv]

Если упростить то, что Вы говорите, это сведётся к следующему:
"Гарднер говорит, что это возможно, а вы, уважаемые участники, -- что это невозможно".

[Klad33]

Здесь можно решать только средствами аналитической геометрии. И будет ясно: могут быть такие координаты или нет. Ведь все сведется к алгебраическим уравнениям, а не к прищуриванию одного глаза.