2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Витебское неравенство
Сообщение31.12.2011, 12:24 


20/05/11
152
На олимпиаде при каком-то университете (вроде в Витебске) предлагали следующее неравенство:
Доказать, что если верно соотношение $abc=1$, то верно неравенство:
$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geqslant a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Я вот либо торможу, либо что, просто там все задачки такой посредственной сложности, минут за 15 решаются, а здесь застопорился... Может кто мне импент даст... :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.12.2011, 14:17 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Lunatik в сообщении #521794 писал(а):
Доказать, что если верно соотношение $abc=1$, то верно неравенство:
$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geqslant a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ваше неравенство очевидно неверно. Может, Вы хотели сказать, что $a$, $b$ и $c$ положительны? :wink:
Для положительных же переменных AM-GM помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Витебское неравенство
Сообщение31.12.2011, 18:01 


20/05/11
152
arqady, да да, именно для положительных... :-)

Я честно говоря только AM-GM и пытался делать... но вот чего-то не получилось... Можете подсказочку дать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Витебское неравенство
Сообщение31.12.2011, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Не знаю, что такое импент, но могу предложить вот что :lol: :
Берём известное неравенство $a+\frac 1 a \geqslant 2$, справедливое для любого положительного $a$, и умножаем на (опять же положительное, благодаря замечанию arqady!) выражение $\left(\frac 1 b + c\right)$. Получаем: $\frac a b + ac + \frac 1 {ab}  + \frac c a  \geqslant 2(\frac 1 b + c)$. Ввиду того, что $abc=1$, $ac+ \frac 1 {ab} = \frac 1 b + c$ и неравенство переписывается так: $\frac a b + \frac c a \geqslant \frac 1 b + c$. Циклически переставляя переменные, получаем: $\frac b c + \frac a b \geqslant \frac 1 c + a$ и $\frac c a + \frac b c \geqslant \frac 1 a + b$. Что делать дальше, думаю поймёшь. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Витебское неравенство
Сообщение31.12.2011, 18:47 


20/05/11
152
Dave, так либо я ошибся, либо вы, потому что $\frac{a}{b} + \frac{c}{a} \geqslant \frac{1}{b}+c$ у меня выполнялась не всегда...
_______
Блин, ну конечно я ошибся, вы абсолютно правы! Спасибо за помощь! :-)

----
Да, кстати, импент - это толчок... на всякий случай :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.12.2011, 19:42 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Dave, Вы, конечно, имеете в виду $\sum\limits_{cyc}\left(\frac a b + ac + \frac 1 {ab} + \frac c a \right)\geqslant \sum\limits_{cyc}2(\frac 1 b + c)\Leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{a} \right)\geqslant\sum\limits_{cyc}\left( \frac{1}{b}+c\right)$. :wink:
Можно ещё двумя такими AM-GM воспользоваться:
$\frac{a}{b}+\frac{2b}{c}\geq\frac{3}{c}$ и $\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Витебское неравенство
Сообщение01.01.2012, 15:23 


20/05/11
152
Ну если хотите, можно с того же огорода (ну это так, задачки устные для arqady, не тяжелее предыдущего (в предыдущем я просто затормозил по-конкретному)):

Доказать что для положительных $a,b,c$, сумма которых единица верно неравенство:
$\frac{a^3}{a^2+4b^2}+\frac{b^3}{b^2+4c^2}+\frac{c^3}{c^2+4a^2}\geqslant \frac{1}{5}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.01.2012, 16:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Следующее неравенство повеселее будет.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Витебское неравенство
Сообщение04.01.2012, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Lunatik в сообщении #521943 писал(а):
Доказать что для положительных $a,b,c$, сумма которых единица верно неравенство:
$\frac{a^3}{a^2+4b^2}+\frac{b^3}{b^2+4c^2}+\frac{c^3}{c^2+4a^2}\geqslant \frac{1}{5}$
Берём очевидное неравенство для положительных чисел: $(a-b)^2(3a+8b) \geqslant 0$. Раскрывая скобки и проводя другие преобразования, получаем:
$$(a^2-2ab+b^2)(3a+8b) \geqslant 0 \; \Rightarrow \; 3a^3-6a^2b+3ab^2+8a^2b-16ab^2+8b^3 \geqslant 0 \; \Rightarrow \; 3a^3+2a^2b-13ab^2+8b^3 \geqslant 0 \; \Rightarrow \;$$ $$ \; \Rightarrow \; 12a^3+8a^2b-52ab^2+32b^3 \geqslant 0 \; \Rightarrow \; 25a^3 \geqslant 13a^3-8a^2b+52ab^2-32b^3 \; \Rightarrow \; 25a^3 \geqslant (13a-8b)(a^2+4b^2) \; \Rightarrow \; $$ $$\; \Rightarrow \; \frac {a^3} {a^2+4b^2} \geqslant \frac {13a-8b} {25}.$$ Циклической перестановкой переменных получаем также: $$\frac {b^3} {b^2+4c^2} \geqslant \frac {13b-8c} {25} \quad \text{и} \quad \frac {c^3} {c^2+4a^2} \geqslant \frac {13c-8a} {25}.$$ Остаётся только сложить эти неравенства и учесть, что $a+b+c=1$.

 Профиль  
                  
 
 Ещё одно доказательство исходного неравенства.
Сообщение18.01.2012, 18:05 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ещё одно доказательство исходного неравенства.

Поскольку a, b, c > 0, и abc=1, то найдутся такие (положительные) x, y и z, что a=x/y; b=y/z; c=z/x.
Таким образом, исходное неравенство переписывается в виде:
2(xy/z^2 + yz/x^2 + zx/y^2) >= x/y + y/z + z/x + x/z + z/y + y/x,
а это неравенство Мюрхеда (набор (1; 1; –2) мажорирует набор (1; 0; –1)).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group