2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 предел
Сообщение07.12.2006, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Ну что-ж, попробую и я вам задачку подбросить... Просьба только не судить очень строго, если она покажется скорее стандартной, а не олимпиадной :)

Найдите предел:

$$ \lim\limits_{x\to +\infty} \int\limits_{\mathbb{R}} \frac {t^2} {1 + t^2} e^{-\left(x-t\right)^2} dt$$

 Профиль  
                  
 
 Re: предел
Сообщение07.12.2006, 19:18 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Добавим и отнимем в числителе дроби единицу. Тогда первый интеграл - стандартный гауссовский равен $\sqrt{\pi}$, а второй вида $ \lim\limits_{x\to +\infty} \int\limits_{\mathbb{R}} \frac {1} {1 + t^2} e^{-\left(x-t\right)^2} dt$ стремится к нулю, как свёртка двух интегрируемых функций.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2006, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Я конечно понимала, что до этого раздела всё-таки не дотягивает.. Но чтобы ТАК быстро - ответ, разумеется, верный :D

Добавлено спустя 17 минут 18 секунд:

Хочу выложить здесь ещё тогда и свой путь решения. Делаю сл подстановку: $$ s = -t + x$$

Теперь по теореме Лёбега о майоризированой сходимости могу поменять предел с интегралом. Рассматриваю две функции (первая будет функция из-под интеграла после подстановки):

$$ f_x(s) = \frac {(x-s)^2} {1 + (x-s)^2} e^{-s^2} $$
$$ g (s) = e^{-s^2}$$

Далее привожу к неравенству:

$$\Rightarrow f_x(s) \leqslant g(s)\phantom{0} \forall x \in \mathbb{R}\phantom{0} \forall s \in \mathbb{R}$$

Ну и далее уже привожу к известному интегралу....

$$ \lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_{\mathbb{R}} \frac {(x-s)^2} {1 + (x-s)^2} e^{-s^2} ds = \int\limits_{\mathbb{R}} \lim\limits_{x\to+\infty} \frac {(x-s)^2} {1 + (x-s)^2} e^{-s^2} ds = \int\limits_\mathbb{R} e^{-s^2} ds = \sqrt \pi$$

Вот такии пироги :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group