Интеграл ТФКП

[ujh]

Помогите, пожалуйста. Я как понимаю, надо от $\cosh(z)$ перейти к $\cos(\sigma+ix)$ или как-то не так?

$$\int_{\sigma-i\infty}}^{\sigma+i\infty} \frac{\cosh(z) - \cosh(\zeta)}{z-\zeta} dz , -\infty<\sigma<\infty}$$

[Sonic86]

Похоже на интеграл Фруллани. Надо хотя бы посмотреть, как их считают (в гугле или в, напр., Волховысском Лунце Арамановиче)

[myra_panama]

Sonic86 может это поможет Фруллани ?

[ujh]

Ой, забыл добавить, что $\zeta $ - произвольное комплексное число

[ewert]

Ну достаточно очевидно:

1) что подынтегральная функция -- целая;
2) что интеграл сходится на бесконечностях лишь в смысле главного значения;
3) и тогда нетрудно понять, что от сигмы он не зависит (это чтоб чуть меньше мучиться).

Т.е. нужен такой интеграл:

$$\int\limits_{-i\infty}^{+i\infty}\frac{\ch z-\ch\zeta}{z-\zeta}\,dz=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\ch ix-\ch\zeta}{x+i\zeta}\,dx=$$

$$=\frac12\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}-e^{\zeta}}{x+i\zeta}\,dx+\frac12\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-ix}-e^{-\zeta}}{x+i\zeta}\,dx=\frac12(I(\zeta)-I(-\zeta)),$$

где

$$I(\zeta)\equiv\lim\limits_{R\to+\infty}\int\limits_{-R}^{R}\frac{e^{ix}-e^{\zeta}}{x+i\zeta}\,dx=-\lim\limits_{R\to+\infty}\int\limits_{C_R}\frac{e^{ix}-e^{\zeta}}{x+i\zeta}\,dx,$$

где, в свою очередь, $C_R$ -- это верхняя полуокружность радиуса $R$ (покольку подынтегральная функция по-прежнему целая). Здесь интеграл от только первой экспоненты даст ноль в силу леммы Жордана, а от только второй (которая постоянна) равен в пределе, очевидно, $\pi i\,e^{\zeta}$. Т.е. весь интеграл равен

$$\frac{\pi i}2(e^{\zeta}-e^{-\zeta})=\pi i\,\sh\zeta=\pi\,\sin i\zeta.$$