2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ограниченность оператора
Сообщение30.11.2011, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Является ли оператор $\[A:C_0^2\left[ {a,b} \right] \to C\left[ {a,b} \right]\]$, $\[\left( {Ax} \right)\left( t \right) = x''\left( t \right)\]$, где $\[x\left( a \right) = x\left( b \right) = 0\]$ ограниченным?

По всей видимости нет, так как для этого ограниченным должно быть$ \[\frac{{{{\left\| {x''} \right\|}_C}}}{{{{\left\| x \right\|}_{{C^2}}}}}\]$, но вторая производная может вести себя как угодно, вне зависимости от самой функции и это значение вообще говоря неограничено. Верно?

-- Ср ноя 30, 2011 11:40:26 --

Это возникло вот в какой задаче.

Пусть $\[C_0^2\left[ {a,b} \right]\]$ - пространство дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке $\[\left[ {a,b} \right]\]$ функций, обращающихся в ноль на концах отрезка. Рассмотрим оператор $\[F:C_0^2\left[ {a,b} \right] \to C\left[ {a,b} \right]\] $ такой, что $\[\left( {Fx} \right)\left( t \right) = x''\left( t \right) + f\left( {x\left( t \right),t} \right)\]$ , где функции $\[f\left( {x,t} \right)\]$ и $\[{f_x}\left( {x,t} \right)\]$ непрерывны на $\[\left[ { - r,r} \right] \times \left[ {a,b} \right]\]$. Доказать, что $\[\left( {F'\left( x \right)z} \right)\left( t \right) = z''\left( t \right) + {f_x}\left( {x\left( t \right),t} \right)z\left( t \right)\]$ (дифференцирование Фреше).

Мне осталось показатьо только, что оператор $\[F'\]$ является ограниченным. Со вторым слагаемым понятно, а с первым нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность оператора
Сообщение30.11.2011, 10:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ShMaxG в сообщении #509952 писал(а):
так как для этого ограниченным должно быть$ \[\frac{{{{\left\| {x''} \right\|}_C}}}{{{{\left\| x \right\|}_{{C^2}}}}}\]$,

Так знаменатель попросту больше числителя -- при стандартной норме в $C^2$; и уж всяко не меньше, даже если переопределить эту норму с учётом граничных условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность оператора
Сообщение30.11.2011, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Ааа, точно. Я думал, что $\[{\left\| x \right\|_{{C^2}}} = {\left\| x \right\|_C} + {\left\| {x'} \right\|_C}\]$, а не $\[{\left\| x \right\|_{{C^2}}} = {\left\| x \right\|_C} + {\left\| {x'} \right\|_C} + {\left\| {x''} \right\|_C}\]$.

-- Ср ноя 30, 2011 11:53:06 --

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченность оператора
Сообщение30.11.2011, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
ShMaxG в сообщении #509952 писал(а):
но вторая производная может вести себя как угодно, вне зависимости от самой функции и это значение вообще говоря неограничено. Верно?

Действительно, взять последовательность синусоид с постоянной амплитудой и со всё увеличивающей частотой. Всё остальное не понял. Возможно не разобрался с условием.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group