2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение28.11.2011, 13:09 


06/04/11
495
Здравствуйте. Не получается разобраться со статьей. Не понятно как они такое получили (формула 5):
http://www.astronet.ru/db/msg/1210064/node5.html

Я всё честно продифференцировал, несколько раз проверил, но получил иной результат

$x\left(t\right)=A\left(s\right)u\left(s\right)$
$\dot{x}=\frac{1}{f}\frac{dAu}{ds}=\frac{1}{f}A'u+\frac{1}{f}Au'$
$\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}f=f\nabla f\dot{x}=\nabla f\left(A'u+Au'\right)$

В итоге получается
$u''=f^{2}F+\frac{1}{f}\left[\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right]\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'$

Исходной статьи найти не могу. Подскажите, в чём моя ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение28.11.2011, 14:35 


10/02/11
6786
srm в сообщении #509147 писал(а):
В итоге получается
$u''=f^{2}F+\frac{1}{f}\left[\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right]\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'$

то, что в правильных уравнениях должно быть $A^{-1}$ очевидно из первого уравнения системы (4). У Вас этого множителя почему-то нет.
Я как-то всегда думал, что студентов на этом форуме обучают дифференцировать в другом разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение28.11.2011, 14:40 


06/04/11
495
Oleg Zubelevich в сообщении #509186 писал(а):
то, что в правильных уравнениях должно быть очевидно из первого уравнения системы (4). У Вас этого множителя почему-то нет.
Я дифференцирую 2 раза $x$, потом выражаю $u''$.

Oleg Zubelevich в сообщении #509186 писал(а):
Я как-то всегда думал, что студентов на этом форуме обучают дифференцировать в другом разделе.
Продифференцируйте и получите тот результат, который в статье. Мне интересно взглянуть как Вы умеете дифференцировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение28.11.2011, 14:51 


10/02/11
6786
srm в сообщении #509187 писал(а):
Продифференцируйте и получите тот результат, который в статье. Мне интересно взглянуть как Вы умеете дифференцировать.

Я умею, поэтому мне ясно, что после двукратного дифференцирования равенства
srm в сообщении #509147 писал(а):
$x\left(t\right)=A\left(s\right)u\left(s\right)$

должна получиться формула в которой слева будет стоять $\ddot x$ а справа $Au''$ , и разумеется и еще какие-то слагаемые. Поэтому $u''=A^{-1}...$ Так, что тренируйтесь, набивайте руку, желаю успеха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение28.11.2011, 15:16 


06/04/11
495
Да, пропустил матрицу. Спасибо за подсказку. В общем, получилось вот так:

$u''=A^{-1}\left(f^{2}F+\frac{1}{f}\left(\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right)\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'\right)$

Всё-равно не совпадает с результатом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение29.11.2011, 18:46 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
srm в сообщении #509195 писал(а):
Да, пропустил матрицу. Спасибо за подсказку. В общем, получилось вот так:

$u''=A^{-1}\left(f^{2}F+\frac{1}{f}\left(\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right)\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'\right)$

Всё-равно не совпадает с результатом.

Здесь все нормально, только это лишнее
srm в сообщении #509147 писал(а):
$\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}f=f\nabla f\dot{x}=\nabla f\left(A'u+Au'\right)$

Нужно это обратно записать как $\frac{df}{ds}$. Все остальные отличия равны нулю с учётом (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение29.11.2011, 22:35 


06/04/11
495
espe, Ага.. Понятно. Странно, кончено. Функция $f$ зависит от $x$, а производная берётся по $s$ - не расписывается градиент. Дальше с этим всё понятно. Если выражения (3) равны нулю, то их добавление не изменит равенства.

Ещё такой вопрос. Не совсем понятно как подбираются коэффициенты $M_i$, $N_i$? Так, чтобы уничтожились слагаемые с $u'$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод линеаризации уравнений движения
Сообщение30.11.2011, 13:34 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
srm в сообщении #509839 писал(а):
Ещё такой вопрос. Не совсем понятно как подбираются коэффициенты $M_i$, $N_i$. Так, чтобы уничтожились слагаемые с $u'$?

Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group