2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение системы функциональных уравнений
Сообщение16.11.2011, 18:08 


16/03/07
825
Всем доброго здравия.
Столкнулся с задачей решения системы функциональных уравнений для функций $f(x), g(x)$

$$ \left \{ \begin{matrix}
f(x)+g(x)=-\frac{a}{b} x\\ 
f(b-k_1 x)+g(b+k_2 x)=-a
\end{matrix}\right $$

где $a,b,k_1,k_2$ - некоторые положительные константы. Что-то как ни верчу - не выходит решения. Может кто-нибудь помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение16.11.2011, 18:39 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Ответ в виде линейных функций подойдёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение16.11.2011, 18:46 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Сначала, независимо от того, поможет это или нет, надо с помощью первого уравнения избавиться во втором от $g$.

Для этого в первое уравнение в качестве $x$ подставим $b+k_2 x$, тогда
$g(b+k_2 x)=-\frac a b (b+k_2 x) - f(b+k_2 x) = - a -\frac a b k_2 x - f(b+k_2 x)$
Подставим это во второе уравнение:
$f(b-k_1 x) - f(b+k_2 x) = \frac a b k_2 x$
Только его в дальнейшем и рассматриваем. А первое теперь является просто определением функции $g(x)$, но полезной для отыскания $f(x)$ информации оно уже не содержит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение16.11.2011, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Сделав несколько замен придем к уравнению вида
$$
F(cx)-F(x)=px,
$$
где $c$ и $p$ -- некоторые постоянные.

Рассмотрите случаи, когда $|c|>1$, $|c|=1$ и $|c|<1$.
Если предполагать $f$ непрерывной, то ее легко найти рассматривая предел $\lim_nF(c^{\pm n}x)$

-- Ср ноя 16, 2011 20:23:10 --

espe в сообщении #504537 писал(а):
Ответ в виде линейных функций подойдёт?



Он и получится, если функции непрерывны

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение16.11.2011, 23:23 
Заслуженный участник


06/02/11
356
Дальше можно вычесть из $F$ линейную часть, и получится типа $h(x)=h(\lambda x)$, откуда $h$ есть произвольная функция от $\exp(2\pi i \log x /\log \lambda)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение17.11.2011, 08:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
type2b в сообщении #504679 писал(а):
откуда $h$ есть произвольная функция



ну... такая функция -- константа)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение17.11.2011, 11:58 


16/03/07
825
Благодарю. Линейные функции вполне подходят. А можно ли решить более общую систему

$$ \left \{ \begin{matrix}
f(x)+g(x)=-\frac{a}{b} x\\ 
f(s(x)-k_1 x)+g(s(x)+k_2 x)=-a
\end{matrix}\right $$

где $s(x)$ - известная функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение17.11.2011, 12:12 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Попробуйте и здесь проделать аналогичные действия, пока не упрётесь в тупик.
Вы можете исключить $g(x)$, можете подстановками упростить вид уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы функциональных уравнений
Сообщение17.11.2011, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
svv в сообщении #504795 писал(а):
пока не упрётесь в тупик



Здесь до тупика -- рукой подать

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group