Задачка по квантмеху

[anatoliy_kiev]

Есть такая тестовая задачка:
Две частицы со спином 1/2 находятся в синглетовом состоянии ($\left|ms\right\rangle, m=0,s=0$)
$\left|0 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\alpha(2)\beta(1)]$,
где $\alpha$ и $\beta$ обозначают соответственно спин вверх и спин вниз, вдоль любой выбранной оси. Спин частицы 1 измеряется вдоль оси $z$ и оказывается равным $+\hbar/2$ (спин вверх). Какой результат даст одновременное измерение спина частицы 2 вдоль того же направления?
(A) Спин вверх с вероятностью 100% (B) Спин вниз с вероятностью 100% (C) Спин вверх с вероятностью 25%, спин вниз с вероятностью 75% (D) Спин вверх с вероятностью 50%, спин вниз с вероятностью 50% (E) Спин вверх с вероятностью 75%, спин вниз с вероятностью 25%

Правильно ли я решаю:
Найдем $\left\langle 0 0 \left| S_{z}^{(2)} \right| 0 0 \right\rangle$, где $S_{x}^{(2)} = \frac{\hbar}{2} \sigma_z$; $\sigma_z$ --- соответствующая матрица Паули ($S_{x}^{(2)}$ действует только на 2-ю частицу).
$S_{z}^{(2)} \left| 0 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \alpha(1) \left(S_{z}^{(2)}\beta(2)\right) - \left( S_{z}^{(2)} \alpha(2)\right) \beta(1) \right] = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \alpha(1) \left(-\frac{\hbar}{2}\beta(2)\right) - \left(\frac{\hbar}{2} \alpha(2)\right) \beta(1) \right] = - \frac{\hbar}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \alpha(1) \beta (2) + \alpha(2) \beta(1)\right] = - \frac{\hbar}{2} \left| 1 0 \right\rangle $
Ну, а поскольку $\left| 1 0 \right\rangle$ (триплетное состояние) и $\left| 0 0 \right\rangle$ (синглетное состояние) ортогональны, то $\left\langle 0 0 \left| S_{z}^{(2)} \right| 0 0 \right\rangle =0$, следовательно, среднее значение измеренного спина второй частицы есть нуль, т.е. при измерении с равной вероятностью получаем спин вверх и спин вниз, вариант D (что совпадает с правильным).

Я не очень уверен в этом решении, т.к. оно вообще не использует тот факт, что измерение спина первой частицы вдоль оси $z$ дал значение вверх. Прокомментируйте, пожалуйста.

[Munin]

Поскольку у вас частицу 1 уже измерили, то частицы перестали находиться в синглетном состоянии, а находятся в несвязанных между собой состояниях. Вам надо найти, в каком состоянии находится частица 2 в результате измерения состояния частицы 1.

-- 04.11.2011 13:56:10 --

Собственно, на пальцах, синглетное состояние - это когда спины частиц направлены не определено куда, но всегда в противоположные стороны по отношению к друг другу (чтобы взаимно компенсироваться). Уже отсюда можно предугадать ответ.

[anatoliy_kiev]

Munin в сообщении #499250 писал(а):

Поскольку у вас частицу 1 уже измерили, то частицы перестали находиться в синглетном состоянии, а находятся в несвязанных между собой состояниях

я подозревал, что что-то похожее может быть, но я даже не понимаю, почему после измерения состояния частицы 1 разрывается это запутанное состояние (entanglement state). Где об этом можно почитать?

Munin в сообщении #499250 писал(а):

Вам надо найти, в каком состоянии находится частица 2 в результате измерения состояния частицы 1.

а как это сделать?
P.S. Я так понимаю мое решение можно выбросить в мусорку, да?

-- Пт ноя 04, 2011 13:03:33 --

Munin в сообщении #499250 писал(а):

Собственно, на пальцах, синглетное состояние - это когда спины частиц направлены не определено куда, но всегда в противоположные стороны по отношению к друг другу (чтобы взаимно компенсироваться). Уже отсюда можно предугадать ответ.

так если так на пальцах, то получается что спин второй частицы направлен вниз 100%, если первый по измерению направлен вверх. Но Вы же говорите частицы перестают быть в синглетном состоянии после измерения спина первой частицы.

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #499255 писал(а):

но я даже не понимаю, почему после измерения состояния частицы 1 разрывается это запутанное состояние (entanglement state).

Вопрос попроще. Пусть у нас одна частица в состоянии $\alpha\lvert\uparrow\rangle+(1-\alpha)\lvert\downarrow\rangle.$ Мы её измеряем и получаем "спин вверх". Вы понимаете, почему после измерения разрушается её исходное состояние?

Здесь по сути то же самое. Была двухчастичная система. Измерив спин первой частицы, вы измерили эту систему. Поэтому её состояние оказалось разрушено.

anatoliy_kiev в сообщении #499255 писал(а):

Где об этом можно почитать?

В вашем учебнике по квантмеху. Или в любом стандартном, типа ЛЛ-3.

anatoliy_kiev в сообщении #499255 писал(а):

а как это сделать?

Вам надо найти состояние двухчастичной системы после измерения. Измерение - это проецирование исходного состояния системы на некое подпространство. Когда измерение полное, вы проецируете на одномерное подпространство, в котором состояние системы полностью определено. Когда измерение частичное, вы проецируете на многомерное подпространство, в котором определены только те переменные, которые вы измерили. В данном случае - спин 1 частицы. То есть, в вашем базисе, все состояния вида $\xi(1)\eta(2)$ проецируются в $\alpha(1)\eta(2)$ или $\beta(1)\eta(2),$ в зависимости от того, какой спин частицы был обнаружен при измерении.

anatoliy_kiev в сообщении #499255 писал(а):

P.S. Я так понимаю мое решение можно выбросить в мусорку, да?

Ну почему, хорошее решение, только не от той задачи :-)

anatoliy_kiev в сообщении #499255 писал(а):

так если так на пальцах, то получается что спин второй частицы направлен вниз 100%, если первый по измерению направлен вверх. Но Вы же говорите частицы перестают быть в синглетном состоянии после измерения спина первой частицы.

Да. Они перестают быть в синглетном состоянии. "Спин первой частицы вверх, спин второй частицы вниз" - это уже не синглетное состояние. Это просто $\alpha(1)\beta(2),$ в базисе синглетного и триплетного состояния - некая суперпозиция синглетного и триплетного. Но нас не волнует базис "синглетное и триплетное состояние". Нас волнует базис "спин второй частицы вверх или вниз (+ещё что-то)". В этом базисе спин второй частицы при измерении не изменился, а только стал определённым. Каким именно - мы можем судить по измерению первой частицы.

[anatoliy_kiev]

Munin в сообщении #499277 писал(а):

Вопрос попроще. Пусть у нас одна частица в состоянии $\alpha\lvert\uparrow\rangle+(1-\alpha)\lvert\downarrow\rangle.$ Мы её измеряем и получаем "спин вверх". Вы понимаете, почему после измерения разрушается её исходное состояние?

потому что волновая функция частицы редуцировалась(?) в $\lvert\uparrow\rangle$, частица теперь находится не в суперпозиции состояний "спин вверх" и "спин вниз", а в состоянии "спин вверх"

Munin в сообщении #499277 писал(а):

Здесь по сути то же самое. Была двухчастичная система. Измерив спин первой частицы, вы измерили эту систему. Поэтому её состояние оказалось разрушено.

ну, теперь понял, если, конечно, не напортачил в предыдущем предложении..

Munin в сообщении #499277 писал(а):

Вам надо найти состояние двухчастичной системы после измерения. Измерение - это проецирование исходного состояния системы на некое подпространство. Когда измерение полное, вы проецируете на одномерное подпространство, в котором состояние системы полностью определено. Когда измерение частичное, вы проецируете на многомерное подпространство, в котором определены только те переменные, которые вы измерили. В данном случае - спин 1 частицы. То есть, в вашем базисе, все состояния вида $\xi(1)\eta(2)$ проецируются в $\alpha(1)\eta(2)$ или $\beta(1)\eta(2),$ в зависимости от того, какой спин частицы был обнаружен при измерении.

вот выделенное жирным понимаю, все остальное Мне нужно $\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\alpha(2)\beta(1)]$ спроецировать на $\alpha(1)\eta(2)$ или нет?

Munin в сообщении #499277 писал(а):

Ну почему, хорошее решение, только не от той задачи

получается, да [кстати, там описка, я в двух местах индекс x вместо z написал]

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #499296 писал(а):

Мне нужно $\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\alpha(2)\beta(1)]$ спроецировать на $\alpha(1)\eta(2)$ или нет?

Да. Собственно, в вашем базисе это делается элементарно, зачёркиванием второго слагаемого (и пере-нормировкой). Или, если бы выражение было подлиннее, зачёркиванием всех слагаемых вида $\beta(1)\ldots$

Упражнение, если хотите: задание то же самое, но спин частицы 1 измеряют вдоль оси $x,$ и получают $+\hbar/2.$ Повозиться придётся побольше.

-- 04.11.2011 17:06:17 --

Упс. Кажется, половина моих объяснений не совсем верна. Я не обратил внимание на слово "одновременное измерение" в условиях задачи. Тогда задача становится концептуально намного проще: надо просто спроецировать исходное состояние на базис полных измерений, вида "частица 1 измерена так-то, частица 2 измерена так-то".

Хотя в данном случае два последовательных измерения дадут то же, что и одно одновременное.

[anatoliy_kiev]

Munin в сообщении #499323 писал(а):

Да. Собственно, в вашем базисе это делается элементарно, зачёркиванием второго слагаемого (и пере-нормировкой).

а почему так? Я чего-то не врубаюсь. Распишите, пожалуйста, если не лень....

Munin в сообщении #499323 писал(а):

Упс. Кажется, половина моих объяснений не совсем верна. Я не обратил внимание на слово "одновременное измерение" в условиях задачи. Тогда задача становится концептуально намного проще: надо просто спроецировать исходное состояние на базис полных измерений, вида "частица 1 измерена так-то, частица 2 измерена так-то".

т.е. спроецировать на $\xi(1)\eta(2)$?

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #499336 писал(а):

а почему так? Я чего-то не врубаюсь. Распишите, пожалуйста, если не лень....

Ну, оператор проецирования при полном измерении - $\operatorname{diag}(1,0,\ldots,0)$ в некотором базисе (здесь - в базисе измеряемой величины), при частичном измерении - $\operatorname{diag}(1,\ldots,1,0,\ldots,0),$ где единицы соответствуют базисным состояниям, при которых измеряемая величина принимает измеренное значение. То есть в базисе $(\alpha(1)\alpha(2),\alpha(1)\beta(2),\beta(1)\alpha(2),\beta(1)\beta(2))$ наш оператор будет $\operatorname{diag}(1,1,0,0).$ Вы про это спрашивали?

anatoliy_kiev в сообщении #499336 писал(а):

т.е. спроецировать на $\xi(1)\eta(2)$?

Под $\xi(1)$ и $\eta(2)$ я понимал произвольные функции. А здесь надо спроецировать на конкретные $\alpha(1)\alpha(2),$ $\alpha(1)\beta(2),$ $\beta(1)\alpha(2),$ $\beta(1)\beta(2).$ И после этого отбросить те из проекций, которые не подходят по известному значению спина первой частицы.

[anatoliy_kiev]

Munin, будет, наверное, быстрее, если Вы набросаете решение по заданному вопросу (если можно), я в нем разберусь и постараюсь самостоятельно решить упражнение, которые Вы выше озвучили и выложу это решение Вам на проверку. Не хочу Вас по мелочам дергать каждый раз...

[Munin]

Ну уж нет, учиться-то вам нужно, а не мне :-) Если в моих объяснениях что-то неясно или невнятно, переспрашивайте, или давайте подождём других знающих людей.

[anatoliy_kiev]

Munin, хорошо, дело Ваше, будем пошагово Я предложил, по-моему, компромиссный вариант: вроде и время сохраняется, и я не просто так выпрашиваю решение интересуемой задачи...

Munin в сообщении #499587 писал(а):

Если в моих объяснениях что-то неясно или невнятно, переспрашивайте

да в том то и дело, что как читаешь, так вроде понятно, а как начинаешь писать, то не понятно ни фига Кроме того, курс квантмеха я еще не проходил и прочел по нему всего одну книгу (как Вы понимаете, не ЛЛ-3), чего наверняка явно недостаточно для того, чтобы некоторые задачи решать самостоятельно.

Давайте я начну, а Вы меня перебьёте, когда я что-то сделаю не так: есть у меня состояние $\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha(1)\beta(2)-\alpha(2)\beta(1)]$ мне его нужно спроектировать на, допустим, (для начала) $\alpha(1)\alpha(2)$. Я перепишу это так: состояние $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\lvert\uparrow\rangle \lvert\downarrow\rangle-\lvert\downarrow\rangle\lvert\uparrow\rangle\right]$ нужно спроектировать на $\lvert\uparrow\rangle \lvert\uparrow\rangle$. Дальше, я так понимаю, нужно ввести оператор проецирования на состояние $\lvert\uparrow\rangle \lvert\uparrow\rangle$. Если у нас есть кет-вектор $\lvert \gamma \rangle$, то соответствующий оператор будет $\hat{P} \equiv \lvert\gamma\rangle \langle\gamma\rvert $ (надеюсь, это так). Поэтому, искомая проекция будет $\frac{1}{\sqrt{2}} \langle\uparrow\rvert \langle\uparrow\rvert \Big(\lvert\uparrow\rangle \lvert\downarrow\rangle-\lvert\downarrow\rangle\lvert\uparrow\rangle\Big) \lvert\uparrow\rangle \lvert\uparrow\rangle = 0\lvert\uparrow\rangle \lvert\uparrow\rangle$, т.е. проекция на это состояние равна нулю. Правильно?

Кстати, какой правильный вариант ответа в задаче?

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #499607 писал(а):

да в том то и дело, что как читаешь, так вроде понятно, а как начинаешь писать, то не понятно ни фига

Это плохо, конечно. То ли объяснения ни к чёрту, то ли вы упустили что-то ещё, что вам надо либо спросить, либо добрать по учебникам.

anatoliy_kiev в сообщении #499607 писал(а):

Кроме того, курс квантмеха я еще не проходил и прочел по нему всего одну книгу (как Вы понимаете, не ЛЛ-3), чего наверняка явно недостаточно для того, чтобы некоторые задачи решать самостоятельно.

А, ну тогда понятно. Странно, что вы за такие задачи берётесь, тогда. Советую ЛЛ-3 главы 1, 2, 4 и ФЛФ-8 главы 1-4. Это по-быстрому для данной задачи.

Впрочем, какую "одну книгу"? Если малоизвестный, но в каких-то аспектах полный учебник, то и его должно хватить.

Бывает так, что прочитаешь учебник, но задач решать не можешь. Значит, прочитали его невнимательно, как художественную литературу. Надо перечитывать, отпечатывая на сердце все положения и выкладки :-) , конспектируя и воспроизводя, пока сказанное не станет ясным в деталях и настолько родным, что им можно свободно пользоваться.

anatoliy_kiev в сообщении #499607 писал(а):

Я перепишу это так: состояние $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\lvert\uparrow\rangle \lvert\downarrow\rangle-\lvert\downarrow\rangle\lvert\uparrow\rangle\right]$ нужно спроектировать на $\lvert\uparrow\rangle \lvert\uparrow\rangle$.

Плохо переписали. Легко запутаетесь. Дело в том, что частиц у вас две, и надо для каждой стрелочки отслеживать, к какой частице она относится. Как это сделать, выбирайте сами, несколько вариантов на выбор: $\lvert 1\colon\uparrow\rangle \lvert 2\colon\uparrow\rangle,$ $\lvert\uparrow\rangle_1 \lvert\uparrow\rangle_2,$ $\lvert\uparrow\uparrow\rangle.$ В исходном формализме, как вы могли заметить, это было явно указано как аргумент функции.

anatoliy_kiev в сообщении #499607 писал(а):

Дальше, я так понимаю, нужно ввести оператор проецирования на состояние $\lvert\uparrow\rangle \lvert\uparrow\rangle$. Если у нас есть кет-вектор $\lvert \gamma \rangle$, то соответствующий оператор будет $\hat{P} \equiv \lvert\gamma\rangle \langle\gamma\rvert $ (надеюсь, это так).

Здесь всё правильно. Но этот оператор стоило бы явно записать на бумажке, а не держать в уме.

anatoliy_kiev в сообщении #499607 писал(а):

Поэтому, искомая проекция будет $\frac{1}{\sqrt{2}} \langle\uparrow\rvert \langle\uparrow\rvert \Big(\lvert\uparrow\rangle \lvert\downarrow\rangle-\lvert\downarrow\rangle\lvert\uparrow\rangle\Big) \lvert\uparrow\rangle \lvert\uparrow\rangle = \ldots$

Нет. Вы записываете оператор проецирования:
$\hat{P}=\lvert\uparrow\uparrow\rangle\langle\uparrow\uparrow\rvert$
и просто приписываете его слева к исходному состоянию, как вы обычно в алгебре записываете произведение оператора (или матрицы) на вектор: $\hat{P}\lvert\gamma\rangle.$ Потом всё подставляете, раскрываете скобки, и вычисляете произведения типа $\langle\delta\vert\gamma\rangle$ - поскольку у вас должны остаться только базисные векторы, все произведения будут очевидны и равны либо 0, либо 1.

А вы сделали что-то совсем другое... Или, может быть, вы подумали, что сомножители можно переставлять? Нет, в этой алгебре - никак нельзя! В этой алгебре коммутативны только числовые коэффициенты. И иногда - операторы, про которые отдельно выяснено, что они коммутативны.

anatoliy_kiev в сообщении #499607 писал(а):

т.е. проекция на это состояние равна нулю.

Впрочем, на это состояние - действительно, равна нулю, хотя дошли вы до этого неправильно :-)

anatoliy_kiev в сообщении #499607 писал(а):

Кстати, какой правильный вариант ответа в задаче?

Я думал, после подсказок уже очевидно.
"(B) Спин вниз с вероятностью 100%"

Синглетное состояние можно "записать словами" как "спины всегда противонаправлены". Поэтому, если одна частица оказалась "вверх", другая обязательно будет "вниз". А триплетное состояние, соответственно, будет "спины всегда сонаправлены".

[anatoliy_kiev]

Munin, спасибо за разъяснения. Действительно, я сглупил, надо записывать $\lvert \uparrow \uparrow \rangle$ или даже $\lvert + +\rangle$ (последнее проще набирать на LaTeX'е). Но с операторами я не напутал, просто написал очень неразборчиво: ведь если подействовать оператором $\hat{P} = \lvert \gamma \rangle \langle \gamma \rvert $ на состояние $\lvert \delta \rangle$, то результат можно записать и как $\lvert \gamma \rangle \langle \gamma \rvert \delta \rangle$, и как $\rangle \langle \gamma \rvert \delta \rangle \lvert \gamma \rangle$, поскольку $\langle \gamma \rvert \delta \rangle$ - это просто число. Вот я и переставил оператор с числом.

Давайте тогда я выпишу все проекции состояния $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\lvert+-\rangle -\lvert -+\rangle\right]$ на
$\lvert +- \rangle$: $-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\lvert -+ \rangle$: $+\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\lvert -- \rangle$: $0$
$\lvert ++ \rangle$: $0$
Правильно?

P.S. что дальше делать? :)

[Munin]

Да, вы правы, а я перестарался. Действительно, числа с векторами переставлять можно, хотя можно было бы, для ясности, хотя бы взять числовой коэффициент в общие скобки...

Проекции вы нашли правильно.

Теперь, возводя их в квадрат (точнее, их модуль, но в данном случае они у вас действительные), вы найдёте вероятности получить при измерении состояния системы такой набор наблюдаемых величин.

Но эти вероятности - априорные, до того, как мы знаем результаты измерения. Из них вы можете найти условные вероятности $P(\pm_2|+_1)$ тех или иных результатов измерения второй частицы при известном результате измерения первой. А поскольку первая частица имеет известно какой спин, то дальше вы перемножаете их с $P(+_1)=1,$ и получаете апостериорные вероятности результатов измерения спина второй частицы. Наконец-то. :-)

[anatoliy_kiev]

$\displaystyle P(-_2|+_1) = \frac{P(+_1 -_2)}{P(+_1)} = \frac{1/2}{1} = 1/2$
$\displaystyle P(+_2|+_1) = \frac{P(+_1 +_2)}{P(+_1)} = \frac{0}{1} = 0$
Так если перемножить, то нуль получится.