2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение23.09.2011, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Выношу на суд общественности плод своих трудов. Жду комментариев.



Введение
До XVI века считалось, что числа даны людям Богом - раз и навсегда. Их обобщения никто не искал. Однако в середине XVI века итальянские ученые Жироламо Кардано и Рафаэль Бомбелли ввели в рассмотрение квадратный корень из -1. Только в XIX веке открытие было строго сформулировано и стало широко использоваться, получив название "комплексных чисел". Любое комплексное число может быть представлено с помощью двух вещественных чисел - $x+\imath y$, где $\imath^2=-1$. Дальнейшее обобщение связано с работами ирландского ученого Уильяма Рована Гмильтона [1]. В течениe восьми лет он искал обобщенеи комплексных чисел для трехмерного пространства. И только в 1843-м году 16-го октября, прогуливаясь с женой к Ирландской Королевской Академии, он смог найти закон умножения для обобщения комплексных чисел, правда, не для трехмерного, а для четырехмерного пространства. Эти числа он назвал кватернионами. Известна история, когда вдохновленный своим открытием, в самом известном факте математического вандализма, Гамильтон на камне Бругхэмовского моста высек ставшие теперь известными формулы перемножения кватернионов:
$$
\imath^2=j^2=k^2=ijk=-1\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1.1)
$$
Через два месяца после открытия Гамильтоном кватернионов его друг, британский математик Джон Грейвс, объявил, что он построил следующее, 8-мерное обобщение. Эти числа он назвал октавами. Однако, до того как Грейвс успел опубликовать свою работу, британский адвокат-математик Артур Кэли сделал то же открытие и напечатал его в ужасной во всех остальных отношениях статье, посвященной эллиптическим функциям, назвав новые числа октонионами[2]. Современное состояние теории октонионов прекрасно изложено в статье Джона Баеза [3].

В дальнейшем тот же Грейвс долго пытался построить следующее, 16-мерное, обобщение. Эту алгебру он назвал ``седенионами'', однако потом стало ясно, что они не являются алгеброй с делением: седенионы могут иметь нулевой делитель. Вопрос был закрыт немецким математиком Адольфом Гурвицом в 1898-м году [4]. Оказывается, что существуют только четыре нормированные алгебры с делением с размерностями 1,2,4, и 8.

Каждая следующая алгебра теряет симметрию предыдущей [3]. Так, переходя от вещественных чисел к комплексным, мы теряем тот факт, что любой элемент сам себе сопряжен. Переходя к кватернионам, теряется коммутативность, а в случае октонионов даже ассоциативность. Последняя, впрочем, заменяется более слабым условием альтернативности (см. ниже). При дальнейшем обобщении теряется и это свойство.


Примером применения нормированных алгебр с делением являются отображения Хопфа. В 1931-м году немецкий математик Хайнц Хопф предложил преобразование, которое ставило в соответствие точки трехмерной и двумерной сфер так, что каждой точке последней соответствовала окружность. Иными словами, было предложено расслоение сферы над сферой со слоем сфера - $S^3/S^1=S^2$. До этого момента считалось, что все подобные преобразования нуль-гомотопны, т.е. переводят сферу в точку. В дальнейшем стало ясно, что это отображение очень просто описывается с помощью одной из нормированных алгебр деления - комплексных чисел. Оказалось, что каждой такой алгебре соответсвует расслоение сферы над сферой со слоем сфера. Так, существуют три отображения Хопфа- первое - $S^3/S^1=S^2$, второе - $S^7/S^3=S^4$ и третье - $S^{15}/S^7=S^8$. Можно рассматривать подобное отображение, связанное с вещественными числами. Его иногда назвают нулевым отображением Хопфа- $S^1/S^0=S^1$.

Отображения Хопфа применяются, например, в теории суперсимметричных полей [5], монополей[6], информации [7], теории суперпроводимости. Именно с возможными размерностями нормированных алгебр с делением, а значит и отображений Хопфа, связаны возможные размерности супергравитационных теорий.

Предлогаемая работа посвящена изложению введения в теорию нормированных алгебр с делением и связанных с ними отображений Хопфа.

Работа составлена следующим образом.

Во второй части дается определение нормированных алгебр с делением и связанных с ними терминов. Доказывается теорема Гурвица.

В третьей части описываются отображения Хопфа с помощью нормированных алгебр с делением.

-- Пт сен 23, 2011 11:03:49 --

2.Нормированные *-алгебры с делением

Пусть для некоторого (пока не определенного) числа $n$ заданы $n-1$ величин ${\bf e}_\mu$, таких, что
$$
{\bf e}_\mu{\bf e}_\nu=-\delta_{\mu\nu}+C_{\mu\nu\lambda}{\bf e}_\lambda,\quad \mu,\nu,\lambda=1,\ldots,n-1,\eqno(2.1)
$$
где вещественные коэффициенты $C_{\mu\nu\lambda}$ антисимметричны относительно перестановки любых двух индексов, т.е. величины ${\bf e}_\mu$ антикоммутируют между собой:
$$
{\bf e}_\mu{\bf e}_\nu+{\bf e}_\nu{\bf e}_\mu=-2\delta_{\mu\nu}\qquad\qquad\qquad\qquad(2.2)
$$
Здесь и далее по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование (заметьте - мы не предполагаем ни коммутативности, ни ассоциативности элементов). С помощью величин ${\bf e}_\mu$ можно определить алгебру над полем вещественных чисел. Так, каждый элемент ${\bf X}$ алгебры представляется следующим образом:
$${\bf X}=x_n+x_\mu {\bf e}_\mu .\eqno(2.3)$$

Определение 1. Скажем, что алгебра $D$ является $*$-алгеброй, если существует линейное отображение $*:D\mapsto D$ такое, что для любых ${\bf X},{\bf Y}\in D$ выполняется:
$$
{\bf X}^{**}={\bf X},\quad ({\bf X}{\bf Y})^*={\bf Y}^*{\bf X}^*
$$
Алгебру (2.1),(2.3) можно сделать *-алгеброй и определить норму, определив сопряжение элементов:$$
{\bf X}^*\equiv x_n-x_\mu{\bf e}_\mu, \quad |{\bf X}|\equiv\sqrt{{\bf X}{\bf X}^*}=\sqrt{x_a x_a},\quad a=1,\ldots,n \eqno(2.5)
$$
Имея норму элемента, можно определить обратный к нему элемент:
$$
{\bf X}^{-1}=\frac{{\bf X}}{|{\bf X}|^2}, \quad {\bf X}{\bf X}^{-1}={\bf X}^{-1}{\bf X}=1 \eqno(2.6)
$$
Пользуясь определением обратного элемента, можно определить правое и левое деления:
$$
\left(\frac{{\bf X}}{{\bf Y}}\right)_L={\bf Y}^{-1}{\bf X},\quad \left(\frac{{\bf X}}{{\bf Y}}\right)_R={\bf X}{\bf Y}^{-1}. \eqno(2.7)
$$
Определение 2. Алгебра $D$ называется нормированной, если $\forall {\bf X},{\bf Y}\in D$ существует билинейное отображение $|.|:D\times D\mapsto \mathbb{R}^{+}$ такое, что
$$
|{\bf X}{\bf Y}|=|{\bf X}||{\bf Y}|.\eqno(2.8)
$$
Определение 3. Алгебра $D$ называется алгеброй с делением, если $\forall {\bf X},{\bf Y}\in D$ из условия ${\bf X}{\bf Y}=0$ следует, что либо ${\bf X}=0$, либо ${\bf Y}=0$. Эквивалентно: алгебра $D$ называется алгеброй с делением, если уравнение ${\bf A}{\bf X}={\bf B}$ имеет решение относительно ${\bf X}$ для $\forall {\bf A},{\bf B}\in D,\quad {\bf A}\neq 0$.

Для описания отображений Хопфа важно, что рассматриваемые алгебры имеют деление. Рассмотрим, в каких случаях их можно сделать такими.

Расширим определение (2.1). Положим $C_{abc}\equiv C_{abc}$ при $a,b,c=1,\ldots,n-1$ и $C_{abc}=0$, если хотя бы один из индексов $a,b,c$ равен $n$. Определим так же ${\bf e}_n=1$. Таким образом, каждый элемент алгебры можно записать ввиде
$$
{\bf X}=x_a{\bf e}_a,\quad a=1,\ldots,n.
$$
C помощью (2.1) произведение двух элементов можно записать следующим образом:
$$
{\bf X}=x_a{\bf e}_a,\quad {\bf Y}=y_a{\bf e}_a,\quad ({\bf X}{\bf Y})_a=x_b(\gamma^b)_{ac} y^c, \eqno(2.9)
$$
где
$$
({\gamma}^n)_{bc}=\delta_{bc},\quad (\gamma^\mu)_{ab}=-\delta_{an}\delta^\mu_b+\delta^\mu_a\delta_{bn}-C^{\mu}_{ab},\quad C^{\mu}_{ab}\equiv C_{ab\mu},\label{gammanm1} \eqno(2.10)
$$
$$
  \mu,\nu,\lambda=1,\ldots,n-1,\quad a,b,c=1,\ldots,n.
$$
Мы не делаем различия между верхним и нижним индексами: $y_a\equiv y^a$. В формуле индекс поднят только для удобства записи.

Из определения матриц $\gamma^\mu$ видно, что они антисимметричны:
$$(\gamma^\mu)^T=-\gamma^\mu\label{ant}. \eqno(2.11)$$

Обозначения (2.10) можно записать более общим образом:
$$
(\gamma^c)_{ab}=-\delta_{an}\delta^c_b+\delta^c_a\delta_{bn}+\delta^c_n\delta_{ab}-C^{\mu}_{ab}. \eqno(2.12)
$$

Теорема (Гурвиц). Существуют только четыре нормированные *-алгебры с делением при $n=1,2,4,8^1$.

Доказательство (Экман). Условие нормированности зможно записать следующим образом:
$$
|{\bf X}{\bf Y}|^2=\sum\limits_{b=1}^{n}(x_a\gamma^a_{bc}y_c)^2=|{\bf X}|^2|{\bf Y}|^2=(x_1^2+\ldots +x_n^2)(y_1^2+\ldots +y_n^2). \eqno(2.13)$$
Для $n=1$ существование алгебры очевидно.


Раскрывая скобки и требуя выполнения равнества для любых значений $x_a$ и $y_a$ и используя антисимметричность матриц $\gamma^\mu$, получаем:
$$
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=-2\delta^{\mu\nu},\quad (\gamma^\mu)^{-1}=(\gamma^\mu)^T=-\gamma^\mu.\qquad\qquad\qquad(2.14)
$$

Таким образом, искомые матрицы $\gamma^\mu$ образуют представление алгебры Клиффорда. Последние очень хорошо исследованы и изложены во многих книгах (см., например, [9]). В частности, показано, что неприводимые многомерные представления алгебры Клиффорда с $n-1$-образующими $\gamma^\mu$ имеют размерность $2^\frac{n-1}{2}$ для нечетных $n$ и $2^\frac{n-2}{2}$ для четных $n$. С другой стороны, размерность матриц равна $n$ по определению. Согласно теореме Машке, любое приводимое представление вполне приводимо, а следовательно, матрицы могут быть представлены ввиде прямой суммы неприводимых представлений. Т.к. для каждого фиксированного $n$ размерность всех представлений одинакова, размерность $n$ должна быть кратна размерностям неприводимых представлений, которые, как уже сказано, суть четные числа. Очевидно, что $n$ не может быть нечетным числом. Для четных же $n$ из условия $n\quad mod\quad 2^{\frac{n-2}{2}}=0$ получаем $n=2,4,8$.

Итак, для возможных значений $n$ мы получили значения 1,2,4, и 8. Остается доказать, что при таких значениях $n$ существуют искомые алгебры. Это показывается прямым построением. Для $n=1$ имеем алгебру вещественных чисел $\mathbb{R}$, для $n=2$ алгебру комплексных чисел $\mathbb{C}$, для $n=4$ алгебру кватернионов $\mathbb{H}$ и для $n=8$ алгебру октонионов $\mathbb{O}$.

С ростом размерности алгебры теряют симметрии, присущие предыдущим. Так, переходя от вещественных чисел к комплексным мы теряем свойство, что каждый элемент сам мебе сопряжен. Как "меру невещественности" можно взять мнимую часть комплексного числа:
$$
Im({\bf X})={\bf X}-{\bf X}^*, \eqno(2.15)
$$которое обнуляется в случае вещественных чисел.

Следующая алгебра($n=4$)- алгебра кватернионов, которая в отличии от предыдущих двух уже некоммутативна. Мерой некоммутативности принято рассмтаривать билинейное отображение называемое коммутатором $[.,.]:D\times D\mapsto D$:
$$
[{\bf X},{\bf Y}]\equiv {\bf X}{\bf Y}-{\bf Y}{\bf X}.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.16)
$$

Базисные три элемента алгебры кватернионов принято обозначать $\imath,j,k$. Так, каждый кватернион ${\bf q}$ записывается следующим образом:
$$
{\bf q}=q_4+q_1\imath+q_2j+q_3k,\quad q_1,q_2,q_3,q_4\in \mathbb{R}.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.17)
$$
Произведение базисных элементов определяется по формуле (1.1), где как антисимметричные коэффициенты $C_{\mu\nu\lambda}$ берутся компонетны абсолютно антисимметричного тензора $\varepsilon_{\mu\nu\lambda}$. Легко видеть, что элементы $\imath/2,j/2,k/2$ удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры $su(2)$:
$$
\left[\frac{{\bf e}_\mu}{2},\frac{{\bf e}_\nu}{2}\right]=\varepsilon_{\mu\nu\lambda}{\bf e}_\lambda.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.18)
$$


Наконец, алгебра кватернионов теряет свойство ассоциативности, присущее всем предыдущим алгебрам. Впрочем, алгебра октонионов имеет более слабое свойство, называемое альтернативностью. Вообще, алгебра называется ассоциативной, если для любых трех элементов выполняется $({\bf X}{\bf Y}){\bf Z}={\bf X}({\bf Y}{\bf Z})$. Альтернативность означает, что любая подалгебра, генерируемая двумя элементами ассоциативна:
$$
({\bf X}{\bf X}){\bf Y}={\bf X}({\bf X}{\bf Y}),\quad ({\bf X}{\bf Y}){\bf X}={\bf X}({\bf Y}{\bf X})\quad ({\bf Y}{\bf X}){\bf X}={\bf Y}({\bf X}{\bf X}).\qquad\qquad\qquad\qquad(2.19)
$$
Легко видеть, что из любых двух равенств следует третье, так что для определения альтернативности принято брать первые два.

Мерой нарушения ассоциативности является трилинейное отображение $[.,.,.]:D\times D\times D\mapsto D$, называемое ассоциатором:
$$
[{\bf X},{\bf Y},{\bf Z}]=({\bf X}{\bf Y}){\bf Z}-{\bf X}({\bf Y}{\bf Z}).\qquad\qquad\qquad\qquad(2.20)
$$

Алгебра октонионов является наиболее общей из всех рассмотренных и как частные случаи содержит их в себе. Коэффициенты $C_{\mu\nu\lambda}$ можно выбрать следующим образом:
$$
C_{1,2,3}=C_{147}=C_{165}=C_{246}=C_{257}=C_{354}=C_{367}=1.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.21)
$$
Все ненулевые элементы получаются из этих перестановкой индексов. В заключении приведем очень полезные для расчетов тождества Муфанга, которые следуют из альтернативности алгебры октонионов [10]:
$$
({\bf X}{\bf Y}{\bf X}){\bf Z}={\bf X}({\bf Y}({\bf X}{\bf Z})), \quad ({\bf X}{\bf Y})({\bf Z}{\bf X})={\bf X}({\bf Y}{\bf Z}){\bf X}.\qquad\qquad\qquad\qquad(2.22)
$$
$\hline$
Вообще-то, теорема Гурвица обычно формулируется в несколько ином виде. Однако, т.к. ее главное применение является доказательством этого факта, мы перефразируем его таким образом.


-- Пт сен 23, 2011 11:04:36 --

3. Отображения Хопфа
Пусть $2n$-мерное евклидово пространство ($n=1,2,4,8$) параметризовано координатами $u_A$, $A=1,\ldots, 2n$. Вместо них рассмотрим 2 элемента соответствующей алгебры:
$$
{\bf u}_\alpha=u_{n\alpha} + u_{(\alpha-1) n+\mu}{\bf e}_\mu,\quad \alpha=1,2,\quad \mu,\nu=1,\ldots,n-1.\qquad\qquad\qquad(3.1)
$$
С помощью таких обозначений отображения Хопфа можно записать следующим образом:
$$
{\bf x}\equiv x_n+x_\mu{\bf e}_\mu=2{\bf \bar u}_2{\bf u}_1,\quad x_{n+1}={\bf \bar u}_2{\bf u}_2-{\bf \bar u}_1{\bf u}_1.\qquad\qquad\qquad\qquad(3.2)
$$
Для случаев вещественных, комплексных, кватернионных и октонионных чисел эти преобразования называются преобразованиями Леви-Чивита - Болина [11], Кустаанэймо-Шитфеля [12] и последние два преобразованиями Гурвица.
Можно проверить, что функции ${\bf x},x_{n+1}$ удовлетворяют следующему тождеству:
$$
{\bf \bar x}{\bf  x}+x_{n+1}^2=({\bf \bar u}_1{\bf u}_1+{\bf \bar u}_1{\bf u}_2)^2=r^2\qquad\qquad\qquad\qquad(3.3)
$$
Иными словами, фиксируя ${2n-1}$-мерную сферу в пространстве ${\bf u}_{1,2}$ мы $n$-мерную сферу в пространстве $x_1,\ldots, x_{n+1}$.

Обратные формулы (3.2) записываются следующим образом:
$$
{\bf u}_\alpha={\bf g}{\bf r}_\alpha,\quad {\bf r}_1=\frac{{\bf x}}{\sqrt{2(r+x_{n+1})}},\quad r_2=\sqrt{\frac{r+x_{n+1}}{2}},\qquad\qquad\qquad\qquad(3.4)
$$
где
$$
{\bf g}=\frac{{\bf u}_2}{|u_2|}, \eqno(3.5)
$$
а $r$ определено согласно (3.3).

Заметьте, что величины ${\bf x}, {\bf r}_1$ являются элементами соответствующей алгебры, тогда как $x_{n+1}, r_2$ суть вещественные числа.

3.1 Нулевое, первое и второе отображения Хопфа

Пусть ${\bf u}_1$ и ${\bf u}_2$ вещественные, комплексные или кватернионные числа. Лекго проверить, что функции (3.2) инвариантны относительно преобразований
$$
{\bf u}_\alpha\mapsto {\mbox{\boldmath$\tau$}}{\bf u}_\alpha,\qquad\qquad\qquad\qquad(3.6)
$$
где $\boldsymbol\tau\bar{\boldsymbol\tau}=1$- произвольный элемент соответствующей алгебры. Учитывая определение нормы (2.5) заключаем, что условие $\boldsymbol\tau\bar{\boldsymbol\tau}=1$ определяет $n-1$-мерную сферу. Учитывая также (3.3), заключаем, что преобразование (3.2) определяет расслоение
$S^{2n-1}/S^{n-1}=S^n$, $n=1,2,4$.

3.2 Третье отображение Хопфа

Из-за неассоциативности октонионов преобразование (3.5) для этого случая не работает. Однако оказывается, что его можно обобщить. Для этого заметим, что координатами слоя нулевого, первого и второго отображений можно выбрать величину ${\bf g}$. Действительно, учитывая обратные преобразования (3.4), (3.6) можно переписать следующим образом:
$$
{\bf g}\mapsto {\mbox{\boldmath$\tau$}}{\bf g}.\qquad\qquad\qquad\qquad(3.7)
$$
Это преобразование уже обобщается прямо. В случае кватернионов получаем обычную формулу (3.6), а для случая октонионов:
$$
{\bf u}_2\mapsto {\mbox{\boldmath$\tau$}}{\bf u}_2,\quad {\bf u}_1\mapsto \frac{({\mbox{\boldmath$\tau$}} {\bf u}_2)({\bf \bar u}_2 {\bf u}_1)}{{\bf u}_2{\bf \bar u}_2}\qquad\qquad\qquad(3.8)
$$
или
$$
 {\bf u}_\alpha\mapsto \frac{({\mbox{\boldmath$\tau$}} {\bf u}_2)({\bf \bar u}_2 {\bf u}_\alpha)}{{\bf u}_2{\bf \bar u}_2}.\qquad\qquad\qquad\qquad(3.9)
$$

Повторяя в точности рассуждения для случая предыдущих отображений, получаем третье расслоение: $S^{15}/S^7=S^8$.

-- Пт сен 23, 2011 11:07:08 --

[1]. Hamilton  W. R. (1866). Elements of Quaternions. Second edition 1899 1901 enlarged by C.J. Joly. Reprinted in 1969 by Chelsea Publishing, New York
[2]. Ian Stewart, "The missing link..." New Scientist, vol 176, issue 2368 - 09 November 2002, page 30
[3]. J. Baez, "The Octonions", Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205
[4]. Hurwitz,  A. (1898). Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln . Nachr. Ges. Wiss. Göttingen: 309-316.
[5]. A. Nersessian “Elements of (Super)Hamiltonian Formalism” Lecture Notes in Physics Vol. 698 (2006) 139- 188
 F. Toppan "On a division algebra classification of constrained generalized supersymmetries. " PoS WC2004:047,2004
[6]. V. M. Ter-Antonyan, Dyon-Oscillator duality, Lectures given at BLTP International School on Symmetries and Integrable Sysems, Dubna, Russia, 8-11 Jun 1999,
[7]. B.A. Bernevig and H. –D. Chen “Geometry of the 3-qubit state entaglement and division algebras”, J.Phys A 36 (2003) 8325-8339
[8]. I.  N. Herstein, “Noncommutative rings.” The Carus Mathematical Monographs, no. 15, Mathematical Association of America,
[9]. J. Wess, J. Bagger Supersymmetry and Supergravity Princeton(1983)
А. Барут, Р. Рончка “Теория представлений групп и ее приложения” тома I,II Мир, Москва (1980)
[10]. M. Zorn, Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg 8 (1930) 123
[11]. T. Levi-Civita, “Sur la résolution qualitative du problème restreint de trois corps” Opere Mathematiche,(1906), 411
K. Bohlin, Bull. Astr., (1911), 144
[12]. P. Kustaanheimo, E. Stiefel, “Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularizations” J. Reine Angew Math., (1965), 204
[13]. A. Hurwitz, Mathematische Werke, Band II, 641 (Birkhäuser, Basel, 1933)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение23.09.2011, 16:29 


25/08/11

1074
Замечательную книгу Кантор-Солодовников неплохо также процитировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение23.09.2011, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
sergei1961 в сообщении #485559 писал(а):
Замечательную книгу Кантор-Солодовников неплохо также процитировать.

Они про Хопфа даже не заикаются. Так что я их наказываю!!! :)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение24.09.2011, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Неинтересно? :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение24.09.2011, 17:02 


12/09/06
617
Черноморск
Примеров хотелось бы. В общем виде плохо воспринимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение24.09.2011, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
В.О. в сообщении #486003 писал(а):
Примеров хотелось бы.

Примеров чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение25.09.2011, 03:01 


12/09/06
617
Черноморск
Bulinator в сообщении #486057 писал(а):
Примеров чего?

$e_{\mu}, C_{\mu, \nu,\lambda}...$

Что такое $e_{\mu}$? Векторы? Базис? В каком пространстве?
Откуда известно, что соотношение (2.1) выполняется хоть для каких-то $e_{\mu}, C_{\mu, \nu,\lambda}$? Нужен пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение25.09.2011, 15:29 


12/09/06
617
Черноморск
Разобрался. Все очень доходчиво изложено в http://www.fizteh.ru/02-07-90327/index/qwat/

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение15.10.2011, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Обидно :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения Хопфа и нормированные *-алгебры с делением
Сообщение29.08.2015, 13:34 
Аватара пользователя


20/03/12
267
СПб
Сжато очень написано. Опечатки встречаются. Например в (3.1) написано $\mu,\nu=1,\ldots,n-1$, но в формуле вообще не используется $\nu$. После (2.18) написано Наконец, алгебра кватернионов Хотя по смыслу должно быть октанионов.
После (3.3) в предложении пропущен глагол. "Иными словами, фиксируя ... мы ..." Мы что делаем? Не сказано.

Хотя разобраться, наверное, можно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group