2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение22.09.2011, 10:05 


08/03/11
248
Как дать определение множества действительных чисел средствами ZF(C) ?
Из-за его громоздкости можно предположить, что определение для целого числа выполнено (оно то же достаточно
громоздкое).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение22.09.2011, 14:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Ну, например, вещественные числа можно определить как особые последовательности рациональных чисел. Рациональные числа вводятся как упорядоченные пары чисел - целого и натурального. Последовательности - это функции, а функции тоже можно определить как какие-то множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение22.09.2011, 14:57 


08/03/11
248
> Последовательности - это функции, а функции тоже можно определить как какие-то множества.

А если через достаточные характеристические свойства элементов множества действительных чисел с использованием
дедекиндового сечения ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение22.09.2011, 15:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


24/06/11

237
С планеты Земля
Можно и через сечения. Можно и через десятичное представление. Да до фига чего можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение22.09.2011, 15:20 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Лично мне определение вещественных чисел как классов эквивалентностей фундаментальных последовательностей рациональных чисел нравится больше.

О как завернул. Но вообще довольно хорошо вся эта процедура построения чисел описана в первом томе "Энциклопедии элементарной математики" Александрова, Маркушевича, Хинчина. Там вещественные числа вводятся именно так. Почитайте, Проскуряков очень увлекательно и подробно все там расписал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение22.09.2011, 18:21 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
Если не ошибаюсь, мощность булеана множества целых равна мощности множесвтва действительных. Интересно, можно ли этим воспользоваться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение22.09.2011, 19:39 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Ох, не знаю. Поле вещественных чисел упорядоченно и архимедово, а как такое же сляпать из множества подмножеств множества натуральных/целых/рациональных чисел...

 Профиль  
                  
 
 Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение14.09.2015, 02:47 


15/05/11
16
А вопрос-то интересный... Что у нас есть в ZF? Ничего, кроме пустого множества $O$ и (схем) аксиом, которые обеспечивают существование некоторых других множеств. Аксиома бесконечности сразу дает нам существование множества $\{O,\{O\},\{\{O\}\},...\}$, которое удобно понимать как $N=\{1,2,3...\}$. Далее, будем рассматривать вещественные числа (пусть из отрезка $[0,1]$) как подмножества множества $N$(на самом деле подмножеств даже больше из-за двоякого представления некоторых чисел двоичной дробью). Но получать такие подмножества я могу только с помощью аксиомы выделения: для любого определенного одноместного предиката $P$ существует вполне определенное множество, содержащие те и только те члены $x \in N$, для которых выполнено $P(x)$. Но различных предикатов-то не более, чем счётно, если алфавит языка конечен! В итоге получится, что во всем нашем Универсуме лишь счетное множество объектов. Теперь из построенных объектов (назовем их вещественными числами) мне надо 1) построить множество $\mathbb{R}$ (исходя из аксиом ZF); 2)ввести на $\mathbb{R}$ порядок; 3) убедиться, что для $\mathbb{R}$ выполнена аксиома полноты, иначе на кой чёрт мне такое $\mathbb{R}$ !? На первый взгляд кажется, что полноты тут не может быть априори, ведь если $\mathbb{R}$ построено, то оно счетное (тут я этот термин использую не в рамках нашей модели, а в канторовском смысле, извне, так сказать)! Но с другой стороны, и под подмножествами $\mathbb{R}$ мы в ZF понимаем не произвольные, а лишь те, которые можем получить с помощью аксиомы выделения. Это тонкий момент, тут есть над чем подумать...
p.s. И вот еще что я заметил: в литературе то и дело пишут: "все построения производятся в рамках ZF... мы используем аксиоматику ZF... данная теорема может быть доказана в ZF...", а при этом нигде не ссылаются ни на одну аксиому ZF, работая, по сути, в рамках классической наивной теории множеств. Ни разу не видел книгу, где хотя бы теорема кантора $2^a>a$ была бы доказана строго в аксиоматике ZF! Если кто-то порекомендует книгу, где четко (именно в рамках ZF) изложены подобные вопросы, буду благодарен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение21.09.2015, 08:11 
Аватара пользователя


01/12/06
504
Кишинёв

(Оффтоп)

I wonder why to define $2=\{\{\varnothing\}\}$. For example, this $2$ is not transitive; then how to define finite (infinite) set. What we got instead?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дать определение множ действ чисел средствами ZF(C) ?
Сообщение21.09.2015, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19137
Уфа

(Оффтоп)

gefest_md в сообщении #1055410 писал(а):
For example, this $2$ is not transitive
Но ведь это и не требуется. Да, мы можем выбрать в качестве натуральных чисел конечные ординалы, и тогда транзитивность есть. А можем слепить их как угодно иначе: просто берём любое счётное множество и определяем на нём все нужные операции (как получается и в случае ординалов).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group