2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 13:44 


23/12/07
1757
Да, конечно, х.ф. в первую очередь вводились для облегчения работы с суммами с.в., но общая идея-то все равно - еще одно (помимо ф.р.) удобное функциональное представление распределений вероятностей (кои изначально, как известно, являются функциями от множеств, а потому манипуляции с ними в исходном виде крайне ограничены).

ewert в сообщении #483240 писал(а):
хар. функция -- это именно преобразование Фурье от плотности.

Тут наверное стоило бы уточнить, что понимается под плотностью не абсолютно непрерывного распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 18:13 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Да, кстати, если вы, друзья, можете ещё и плотность объяснить - т.е. какой смысл она имеет, что она из себя представляет - прошу поделиться знанием. :-) В таком случае я буду знать, что из себя представляют все начальные определения теорвера, начиная с матожиданий, заканчивая производящей функцией. Знать - в смысле представлять себе все эти определения, а не просто принимать как данность..

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 18:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так плотность легко предсталяется! Проще всех, наверно. :o Возьмём отрезки значений случайной величины одинаковой длины, на первом из которых плотность принимает большие значения, чем на втором. Вероятность того, что величина примет значение из первого отрезка, больше. Можно сказать, что значения, плотность в которых больше, «выпадают» чаще пропорционально.

Это следует из того, что $$\mathsf P\left( x < X < x + \Delta x \right) = \int\limits_x^{x+\Delta x} f_X(x)\, dx \approx f_X(x) \Delta x,$$если $f_X(x)$ на указанном промежутке меняется слабо — к примеру, когда длина промежутка $\Delta x$ мала (если ничего не перепутал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 18:37 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
"Вероятность того, что величина примет значение из первого отрезка, больше."
Так это свойство описывается с успехом другими функциями. Опять-таки с помощью производящей функции с легкостью можем найти такие отрезки, где вероятность будет наибольшей..

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 18:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Плотность самая естественная. Интегрируя именно её по интересующему множеству значений $A$, мы получим $\mathsf P(X \in A)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
farewe11, теперь у меня подозрения, что Вы под производящей функцией понимаете что-то своё. Какие отрезки? :shock: Она же для дискр....

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 20:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я так понял, что имеется в виду производящая функция моментов. Ну да, узнав из неё матожидание, мы можем попытаться судить, где больше плотность, а где нет (хотя возьмём, например, равномерное распределение: и планы рушатся). Конечно, надо ужасно много, наверно, играть с моментами производящей функцией моментов (раз уж написано, что она однозначно задаёт распределение), чтобы так же легко находить вероятности попадания сл. вел. в разные множества, как с помощью интегрирования плотности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 21:28 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
(да, речь шла о производящей функции моментов)

Раз уж заговорили о производящих функциях, давайте осветим одну небольшую тему. Производящая функция (та, которая для дискр) совместного распределения: $F_{\xi_1, \xi_2} (z_1, z_2)$ по определению представляет собой нечто вроде:
$$\sum_{i,k} p(\xi_1=i, \xi_2=k)\cdot z_1^i\cdot z_2^k$$
Чтобы получить одномерную производящую функцию, скажем, для $\xi_1$, которая представляет собой $\sum_{i} p(\xi_1=i)\cdot z_1^i$, что нужно сделать? Откроем Феллера и прочитаем, что достаточно подставить $z_2=1$ в формулу для двойной п.ф. Эту тему я уже обсуждал ранее, и это правило было воспринято, как данное. Но почему так? Если мы подставим вместо $z_2$ - $1$, получим такое:
$$\sum_{i,k} p(\xi_1=i, \xi_2=k)\cdot z_1^i$$
Это похоже на требуемый вид одномерной п.ф., но не совпадает с ним! Вероятность-то совместного распределения никуда не делась! В чем же дело?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение15.09.2011, 23:43 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
или, возможно, в двойной производящей функции под $p_{i,k}$ вовсе не имеется в виду $p(\xi_1=i, \xi_2=k)$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение16.09.2011, 00:04 


23/12/07
1757
farewe11 в сообщении #483333 писал(а):
Да, кстати, если вы, друзья, можете ещё и плотность объяснить - т.е. какой смысл она имеет, что она из себя представляет - прошу поделиться знанием. :-)

Плотность распределения вероятностей проще всего понять, исходя из аналогии: вероятность множества - это его масса, тогда плотность распределения вероятности в точности будет соответствовать (линейной) плотности распределения массы на прямой, которую в школе проходили: $\rho(x) = m ( [x+\delta x, x - \delta x] ) / \text{\rm length} ( [x+\delta x, x - \delta x]),  \delta x \rightarrow 0$.

Цитата:
Это похоже на требуемый вид одномерной п.ф., но не совпадает с ним! Вероятность-то совместного распределения никуда не делась! В чем же дело?

Ну, как не совпадает - просуммируйте по $k$ с учетом нормировки на единицу, получите, что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение16.09.2011, 00:20 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
_hum_ в сообщении #483421 писал(а):
просуммируйте по $k$ с учетом нормировки на единицу

Не понял. :-( Можно чуть подробнее?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение16.09.2011, 00:44 


23/12/07
1757
Между совместными и частными распределениями вероятностей, как полезно убедиться, имеется связь:
$$\sum_{k} p(\xi_1=i, \xi_2=k) = p(\xi_1=i),\quad \sum_{i} p(\xi_1=i, \xi_2=k) = p(\xi_2=k).$$


P.S. Да, кстати, нормировка тут и не нужна, это я поторопился, - достаточно счетной аддитивности вероятности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение16.09.2011, 00:53 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Ого. спасибо за формулу, думаю, она будет мне полезна! А как в этом убедиться? Ну, то есть, с чего это вдруг именно такая связь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение16.09.2011, 01:19 


23/12/07
1757
Нууу, если имеется полная группа $\{D_k\}_k $ попарно несовместных событий (попарно несовместных событий, объединение которых в совокупности дает достоверное событие), то всякое событие $A$, очевидно, можно представить в виде разложения $A = \sqcup _k A D_k$. Тогда, пользуясь аддитивностью вероятности, получаем $P(A) = \sum_k P(A D_k)$.

Если положить теперь $A = , $D_k = , то поскольку в этом случае $\{D_k\}_k$ - как раз-таки полная группа попарно несовместных событий (проверьте!), можем воспользоваться сказанным выше и записать $P(\xi_1 = i) = \sum_k P(\xi_1 = i, \xi_2 = k)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия суммы очков при бросании n костей. И пара вопросов
Сообщение16.09.2011, 15:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #483421 писал(а):
$\rho(x) = m ( [x+\delta x, x - \delta x] ) / \text{\rm length} ( [x+\delta x, x - \delta x]), \delta x \rightarrow 0$
Ну и обозначения…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group