Спасибо,
Padawan.
Мне давно известна теорема о том, что пределом последовательности эвольвент любой кривой является логарифмическая спираль. И лишь недавно задумался: а какая из логарифмических спиралей? Какими свойствами исходной “любой кривой” определяется форма предельной спирали (угол между касательной и полярным радиусом)?
Из древнего доказательства стало ясно, что это спираль с углом
(2). Выяснились и другие особенности.
-- 03 сен 2011, 10:44 --Если
— длина дуги и угол наклона касательной к кривой, и
, то для (первой) эвольвенты получим уравнение
.
Вот как это происходит с просто параболой: "0" --- ограниченная дуга параболы, "1" --- её первая эвольвента, и ещё вторая "2" и третья "3". При построении эвольвенты на рисунке я просто разматываю нить с параболы, причём перед разматыванием удлиняю нить на некоторую величину
, которая и фигурирует в (1),(2).
Чуть правее парабола и три члена последовательности собраны в кучку, с одинаковыми начальными условиями в точке
. Красный пунктир --- предельная лог. спираль. Ещё правее --- дуга
, предел кусочка (0) параболы, и дуга
, предел для всей бесконечной ветви параболы.
Предельная эвольвента является лог. спиралью с углом
, у которой от асимптотической точки откушен кусочек длины
.
При
для той же параболы получим в пределе точку.
Полную лог.спираль получим, если
и
.
Но это ещё не все фокусы с теоремой. Не всегда 45...