Система нелинейных уравнений

[HaronDDC]

Заранее прошу простить за качество оформления.

Дана система:
P_i(k, b) = 0, i=1..m
где
P_i(k, b) - некоторые многочлены.

Собственно, вопрос очень простой - как найти решение данной системы.
Естественно, интересуют ссылки. Я знаю, что есть некая общая методика нахождения всех корней нелинейных систем (во всяком случае какие-то потуги в этом отношении).
Дополнительной информации о структуре решения нет. Это может быть как кривая, так и множество изолированных точек в плоскости $(k, b)$.

Существуют-ли какие-нибудь особые техники решения, основанные на том, что $P_i$ - именно многочлены?
Интересуют как численные, так и аналитически (символьные методы). (возможно их соитие). Хотя... это всегда соитие.

Собственно, буду рад любой информации - смотрю очень не слабый тут форум.

[Sonic86]

Если $k,b$ - неизвестные, то Вам нужен результант (это алгебраическая часть будет). Можете о нем прочесть в Куроше Общая алгебра.
Хотя это, конечно, вряд ли единственный вариант.

[Vince Diesel]

Для набора многочленов есть понятие базиса Грёбнера. Это некоторое множество многочленов, имеющее те же корни, что и исходный набор. Например, для многочленов одного переменного это их наибольший общий делитель. Если система имеет конечное число решений, то можно, исключая переменные, получить базис Грёбнера из многочлена одного переменного. Если решений нет, то базис может быть просто 1. Математические пакеты умеют эффективно находить его (и исключать переменные), см. ссылку.

[Joker_vD]

Внесу-ка я свои пять копеек про число решений.

HaronDDC в сообщении #476904 писал(а):

Дополнительной информации о структуре решения нет. Это может быть как кривая, так и множество изолированных точек в плоскости $(k,b)$.

Если найдется делитель $P(k,b)$, общий для всех $P_i(k,b)$, то решением будет именно что кривая, задаваемая уравнением $P(k,b) = 0$. Обычно на ней много точек.

Если же такого делителя нет, то заменяя пары многочленов с общим делителем на этот делитель, можно прийти к равносильной системе из многочленов, не имеющих общих делителей. В случае такой системы число точек-решений не превосходит произведения степеней двух любых многочленов системы.

[HaronDDC]

Мда... вот, что называется, и почувствуй пробелы своего образования.

Спасибо, посмотрю, шо есть результант и совсем уж неприличные базисы Грёбнера.
Вообще - кто-нибудь сходное применял?
Это работает?

Просто ведь, насколько мне известно, нет общей формулы для нахождения всех корней многочлена высокой степени. Допустим, что он у меня не в системе, а вообще один - помогут ли вышеуказанные сущности?

Наверное, преждевременный вопрос (так как я не познал еще вышеуказанные вещи), но может кто ответит.

[Vince Diesel]

Через радикалы корни могут не выражаться, а численно те же пакеты ищут легко. Тут уж как не решай, а ответ один и тот же

Чтобы понять ,чего стоит ожидать, матпакеты помогут. Некоторые, например, умеют рисовать на плоскости множество решения неравенств. Если решения $P(x,y)>0$ образуют область на плоскости (ее граница - решения $P(x,y)=0$), это одно, а если нет, то другое

[HaronDDC]

Не уверен, что они легко ищут:
1. Я вот не знаю, что за магическая функция найдет корни многочлена двух переменных.
2. Ответ, конечно, один и тот же. Просто это "произвольная" система. Число уравнений в ней на 2 меньше степени многочленов, в нее входящих (вообще говоря - могут быть вырожденные случаи).

Т.е. по сути дела - нужен некий алгоритм решения, подходящий подо все мыслимые случаи.
Кроме того, коэффициенты - довольно неприятные выражения (я их еще даже и не получил, - просто знаю, что там многочлены).

Так что думаю, построение тут не особо поможет.
Попробую обмозговать шо мне тут посоветовали - страшные базисы и т.п.

[HaronDDC]

Нашел вот http://www.nsu.ru/matlab/MatLab_RU/snae/book1/index.asp.htm такую ссылку по теме.

Радует формулировка... прямо мая задачка)