2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 
Сообщение17.11.2006, 08:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4328
Москва
dmd писал(а):
Вы, конечно, во всем правы, увы мне:(

Вот это уравнение:
$24rx + 1 = y^2$, где $r$ - произведение искомых простых.
Если ${x_m,y_m}$ - минимальное решение этого уравнения, то
$i=IntegerPart[(y_m-1)/4]$, либо $i=IntegerPart[(y_m-1)/4]\pm 1$ гарантировано содержит один из искомых простых множителей: $GCD[i,r]$.

Не понял, что хотите сказать (i содержит один из простых делителей gcd(i,r) - это всегда :D ).
Если число y не делится на два и на 3, то его квадрат всегда дает остаток 1 при делении на 24. Наверно поэтому из D выделили 24.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2006, 19:28 


16/08/05
697
Дело в том, что я не подбирал искусственно способ представления D, а вывел это уравнение естественным образом, просто рассматривая задачу в ее динамике.

Вот примеры:

$r=17*31=527$
наименьшее решение уравнения $24rx+1=y^2$ будет {11,373}, т.е. $y_m=373$
тогда $i=IntegerPart[(y_m-1)/4]=93=3*31$ - т.е. $i$ содержит один из простых делителей $r$, равный 31
или можно $GCD[i,r]=GCD[93,527]=31$

$r=23*53=1219$
минимальное решение нашего диофантова уравнения будет {65,1379}, т.е. $y_m=1379$
тогда $i=IntegerPart[(1379-1)/4]+1=345=3*5*23$ - т.е. $i$ содержит 23 - делитель $r$, или $GCD[345,1219]=23$

$r=112303*898423=100895598169$
наименьшее решение {16815633555,201789399491}
$i=IntegerPart[(201789399491-1)/4]+1=50447349873=3*3*17*367*898423$ $GCD[50447349873,100895598169]=898423$

Если попробовать таким образом разложить числа $r=2^{261}+3$ и $r=2^{262}+3$, то для первого Mathematica решает это диофантово уранение за несколько секунд, а для второго - около 14мин на моем P3. При этом первое число содержит только один достаточно большой простой множитель и несколько достаточно малых множителей, а второе число - два больших множителя и несколько малых. Из этого сделался вывод, что скорее всего Mathematica решает такие диофантовы уравнения неким подбором, раз второй случай был много дольше. До этого я понятия не имел, решаются такие уравнения аналитически или нет и проще ли их решать, чем факторизовать, по ходу все выяснилось - мы дилетанты как всегда ходим кругами:). Кучу литературы переназакачал по теории чисел - нигде толком такие уравнения не рассматриваются. Прискорбно то, что ни одна из свободных систем математики не умеет решать нелинейные диофантовые уравнения, хотя бы тем же перебором. В Mathematica их можно решать командой Reduce вот так:
Reduce[f(x,y)==0 && Element[x|y, Integers]]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.11.2006, 19:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4328
Москва
Во первых 373 не является минимальным, например 527-373<373. Во вторых, для любого решения кроме 1, y=1(mod d) для некоторого d и равно -1(mod D/d), т.е. (y-1,D)=d даст некоторый делитель d и позволит факторизовать.
Что касается литературы по факторизации, то следует смотреть книжки не по теории чисел, а книжки по криптографии, например: Смарт. Криптография, О,Н. Василенко "Теоритико-числовые алгоритмы в криптографии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.11.2006, 17:01 


16/08/05
697
Руст писал(а):
Во первых 373 не является минимальным, например 527-373<373.


Если $y=527-373=154$, то $x$ не будет целым для уравнения $24*527*x+1=y^2$, мы же ищем целочисленные решения. Для этого уравнения минимальным нетривиальным решением является только $x_m=11,y_m=373$.

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение23.11.2011, 20:30 


16/08/05
697
Пусть $d=ab$

$a,b$ - простые числа.

Все нетривиальные решения уравнения $x^2-1=dy$ выражаются формулами:

$x=x_{1,2}+dk$

$y=y_{1,2}+2x_{1,2}k+dk^2$

где $k$ - произвольное целое,
$\{x_1,y_1\}$, $\{x_2,y_2\}$ - пара наименьших нетривиальных решений, таких что $0<x_1<x_2<d$.

При этом наблюдаются следующая картина:

$x_1+x_2=d$

$x_2-x_1=y_2-y_1=r$

$r^2=4\pmod d$

$r=\pm 2\pmod {a,b}$

$z=x_2 \% y_2$

$x_{1,2} y_{2,1}=-1\pmod z$


Еще иксы решений уравнения Пелля $X^2-1=dY^2$ являются подмножеством иксов решений исходного уравнения $x^2-1=dy$.
Тогда $x=X \% d$ иногда даёт нетривиальное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение23.11.2011, 21:55 
Заслуженный участник


09/02/06
4328
Москва
dmd в сообщении #507073 писал(а):
Пусть $d=ab$

$a,b$ - простые числа.

Все нетривиальные решения уравнения $x^2-1=dy$ выражаются формулами:

$x=x_{1,2}+dk$

$y=y_{1,2}+2x_{1,2}k+dk^2$

где $k$ - произвольное целое,
$\{x_1,y_1\}$, $\{x_2,y_2\}$ - пара наименьших нетривиальных решений, таких что $0<x_1<x_2<d$.

Утверждение в таком виде не верно. Надо различать случаи $a=b$, $a\not =b$. Еще четное $d$ или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение24.11.2011, 07:28 


16/08/05
697
Это да, надо было написать:

$a,b$ - различные простые >2

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение24.11.2011, 07:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4328
Москва
Вообще количество решений $0<x<d$ равно $2^{v(d)}$, где $v(d)$ количество различных простых делителей d. Есть одно но. Когда $8|d$ простому числу 2 соответствует сразу 4 решения и количество решений будет $2^{v(d)+1}.$

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение24.11.2011, 08:38 


23/01/07
3170
Новосибирск

(Оффтоп)

maxal в сообщении #40453 писал(а):
О чем я и говорил. Вы свели задачу факторизации к некоторому диофантову уравнению. Как Вам уже здесь показали, решение этого уравнения равносильно решению исходной задачи. Если это не переформулировка, то что?
Откуда у Вас взялась уверенность, что решить полученное уравнение будет проще чем факторизовать?


Действительно, похоже конечная цель - факторизация числа $D$.
Я ранее в своих измышлениях уже приходил к парадоксальному выводу о том, что "Чтобы упростить факторизацию числа, это число необходимо усложнить".
Но для этих целей использовать $Dx=y^2-1$ - не совсем благодарное дело.
Дело в том, что $x$ в выражении $Dx=y^2-1$ должно быть таким, что $Dx=mn$, где $|m-n|=2$. Добиться этого очень сложно.
На мой взгляд, более продуктивна факторизация по $Dx=y^2-z^2$, где $z<\sqrt {Dx}$ (факторизация по Ферма с усложнением числа $D$). При этом $x$ должен быть произведением, как можно большего числа малых простых множителей и их степеней, соответственно, возможные делители числа $Dx=mn$ будут по величине приближаться друг к другу. Тем самым, $y$ будет минимизироваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение24.11.2011, 09:39 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
Мне кажется такое есть решение:

$D=V^2-1$

$x=1$

$y=V$

Где V - любое целое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение24.11.2011, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5477
Новосибирск
:appl:

А также $D=1, x=V^2-1, y=V$, где $V$ - любое целое число. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение24.11.2011, 13:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
Нет, Ваше слишком частное решение страдает тем, что принимается только одно D, а у меня - группа чисел D, при которых есть "минимальное" решение. Разница, однако-с! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение24.11.2011, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5477
Новосибирск
Klad33 в сообщении #507326 писал(а):
Нет, Ваше слишком частное решение страдает тем ...

Нет, не тем, а от того. Оно как и Ваше страдает от того, что не интересует ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение24.11.2011, 21:13 


16/08/05
697
dmd в сообщении #507073 писал(а):
При этом наблюдаются следующая картина:

$x_1+x_2=d$

$x_2-x_1=y_2-y_1=r$



И, кстати, $x_2^2-x_1^2=dr$

или

$x_2^2\equiv x_1^2\pmod d$

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение в целых числах
Сообщение26.11.2011, 16:11 


16/08/05
697
Еще

$rx_{1,2}\equiv \mp 2\pmod d$

-- Сб ноя 26, 2011 18:37:26 --

$d^2-r^2=4x_1x_2$

$x_1x_2\equiv -1\pmod d$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group