2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение05.08.2011, 15:16 


26/12/08
1813
Лейден
Пусть $L$ - Банахово пространство, на котором заданы две нормы $\|\cdot\|'_L$ и $\|\cdot\|''_L$. Определим для линейного оператора $\mathcal A:L\to L$ также две нормы
$$
\|\mathcal A\|' = \sup\limits_{f\in L}\frac{\|Af\|'_L}{\|f\|'_L}
$$
и
$$
\|\mathcal A\|'' = \sup\limits_{f\in L}\frac{\|Af\|''_L}{\|f\|''_L}.
$$

Допустим, $\|\mathcal A\|'<\infty$ - следует ли из этого, что $\|\mathcal A\|''<\infty$? Мотивация такая: вижу, что говорят о неограниченности дифференциальных операторов. Какая норма имеется ввиду, и можно ли найти такую, в которой они ограничены.

-- Пт авг 05, 2011 16:17:31 --

Собственные мысли такие: ограниченность у нас есть тогда и только тогда, когда оператор непрерывен в нуле. С другой стороны, непрерывность в нуле сохраняется при эквивалентности норм, но у нас они не обязаны быть эквивалентны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение05.08.2011, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Gortaur в сообщении #473654 писал(а):
Пусть $L$ - Банахово пространство, на котором заданы две нормы $\|\cdot\|'_L$ и $\|\cdot\|''_L$.


оно банахово относительно какой из норм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение05.08.2011, 18:07 


26/12/08
1813
Лейден
alcoholist
Хорошее замечание. Допустим, относительно обеих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение05.08.2011, 22:43 


14/07/10
206
Если пространство $L$ банахово относительно обоих норм, то ситуация несколько упрощается. В данном случае, если одна из норм мажорирует другую, то они эквивалентны (это следует из теоремы Банаха об обратном операторе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 07:26 
Аватара пользователя


22/12/10
264
MaximVD
Ну так самое интересное как раз в том случае, если ни одна из норм не мажорирует другую. Если нормы эквивалентны, то всё понятно и всё скучно.

С дифференциальным оператором есть ещё другая заковыка: в классических определениях он действует в другое пространство, скажем, $\frac{d}{dx}: C^1\to C$. Так что в задаче надо, строго говоря, рассматривать не две, а ажно четыре нормы (две на исходном пространстве и две на целевом). Вроде как-то можно определить дифференциальный оператор, действующий в то же пространство, но тут я сходу не уверен (см. в сторону обобщённых ф-ций и обобщённых производных).

UPD. Кажется, я даже подобрал интересный пример. Возьмём на пространстве $C^1$ (непрерывно дифференцируемых функций) ту же норму, что на $C$ (чебышевскую). Тогда оператор дифференцирования будет (кажется) непрерывным. Только вот $C^1$ с такой нормой — не полное, т.е. не банахово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 10:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Portnov в сообщении #473772 писал(а):
Возьмём на пространстве $C^1$ (непрерывно дифференцируемых функций) ту же норму, что на $C$ (чебышевскую). Тогда оператор дифференцирования будет (кажется) непрерывным.

Конечно, не будет. Операторы дифференцирования не могут быть ограниченными (относительно одной и той же нормы на входе и на выходе, естественно, а иначе и обсуждать нечего) просто потому, что ограниченность самой функции никак не ограничивает возможные колебания этой функции. И если для норм вообще -- это некоторая лирика, то уж для конкретно равномерной-то нормы верно буквально и безоговорочно.

Portnov в сообщении #473772 писал(а):
С дифференциальным оператором есть ещё другая заковыка: в классических определениях он действует в другое пространство, скажем, $\frac{d}{dx}: C^1\to C$.

На самом деле слова следует переставить в обратном порядке. Если оператор действует внутри некоторого пространства и неограничен, то он не может быть определён на всём пространстве. Во всяком случае, если он замкнут или хотя бы допускает замыкание, а дифференциальные операторы именно таковы (контрпримеры если и можно подобрать, то это будет экзотика).

С неограниченностью дифференциальных операторов не следует бороться, нужно принять её смиренно и как факт, в т.ч. и потому, что она явно отражается на свойствах приближённых вычислений, связанных с этими операторами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 10:32 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #473787 писал(а):
Если оператор действует внутри некоторого пространства и неограничен, то он не может быть определён на всём пространстве.

это неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 11:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #473794 писал(а):
это неверно

Что именно неверно? Естественно, пространство имелось в виду банахово. Ну разве что слова "допускает замыкание" не очень удачны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 12:23 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #473805 писал(а):
Что именно неверно?

Ваше утверждение неверно, которое я процитировал.

Рассмотрим неограниченный линейный функционал $f:l_\infty\to\mathbb{R}$. Почему этот функционал существует, на этом форуме обсуждалось. Теперь построим линейный оператор $A:l_\infty\to l_\infty$ по правилу
$x\mapsto (f(x),0,0,\ldots)$. Этот оператор не ограничен и определен на всем $l_\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 12:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #473807 писал(а):
Рассмотрим неограниченный линейный функционал $f:l_\infty\to\mathbb{R}$.

Не рассмотрим -- он не замкнут, как бы ни выглядел.

(Вообще контрпример с конечномерным пространством на выходе не построишь -- там ограниченность равносильна замкнутости. А вот если размерность образа бесконечна, то равносильности нет. Но зато есть теорема о замкнутом графике.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 13:04 


10/02/11
6786
А я разве сказал ,что он замкнут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 13:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #473812 писал(а):
А я разве сказал ,что он замкнут?

Зато я сказал с самого начала, что речь о замкнутых операторах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 13:07 


10/02/11
6786
Да, теперь прочитал до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 18:24 


26/12/08
1813
Лейден
Вообще, подробнее будет так. Есть непрерывная полугруппа линейных операторов $T_t:L\to L$ и $\mathcal A$ - ее генератор. При этом $\|T_t\|\leq 1$ для всех $t$. Насколько я понял, из этого не следует ограниченность $\mathcal A$. Он задается через формулу
$$
\mathcal Af = \lim\limits_{t\to 0}\frac{T_tf-f}{t}
$$
для тех $f$, для которых данный предел существует, скажем из множества $D$. Тогда $D$ - подпространство $L$ и всюду плотно в $L$. Вопрос такой - для всех ли норм будет неограниченность генератора группы? Может, для дифференциальных операторов надо взять, скажем, норму Соболевских пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смена норма и ограниченность линейного оператора
Сообщение06.08.2011, 18:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Gortaur в сообщении #473867 писал(а):
Может, для дифференциальных операторов надо взять, скажем, норму Соболевских пространств.

Ну нельзя же: оператор обязан действовать в пространстве, а не из него, элементы же образа оператора категорически отказываются принадлежать (вообще говоря) этому соболевскому классу, принципиально отказываются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group