2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение29.07.2011, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Сомневаюсь в решении.

Задача 1. Какова размерность пространства вещественных квадратных матриц порядка $n$ с нулевым следом?

Такая матрица $(a_{ij})$ определяется всеми элементами кроме одного на диагонали (пусть $a_{11}$), который подбирается, чтобы сделать след нулевым. Базисом будут матрицы $E_{ij}$, $i,j=\overline{1,n}$ кроме $i=j=1$; их $n^2-1$.

Задача 2. Какова размерность пространства всех многочленов $f(t)$ степени $\le n$ от одной переменной с условием $f(1)=0$?

Аналогично получил $n-1$ (подбираем один коэффициент).

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение29.07.2011, 20:20 


02/04/11
956
Почти все правильно, только базисом будут $E_{ij}, i \neq j$ и $E_{11} - E_{ii},\ i = 1, \ldots, n - 1$.

Многочлен порядка $n$, кстати, полностью определяются своими значениями в фиксированных $n$ точках (многочлен Лагранжа) - тут даже и думать почти не надо :)

Статья про многочлен Лагранжа и китайскую теорему об остатке: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?b=10595

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Спасибо. Я совсем туплю: не удосужился проверить соответствие даже базисных векторов нужным условиям.

Во второй задаче базисом будут $n-1$ многочленов $x-1$, $x^2-1$, ..., $x^n-1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
caxap в сообщении #472043 писал(а):
Какова размерность пространства всех многочленов $f(t)$ степени $\le n$ от одной переменной с условием $f(1)=0$?

Аналогично получил $n-1$ (подбираем один коэффициент).
А сколько коэффициентов у многочлена степени $n$?

Kallikanzarid в сообщении #472046 писал(а):
Многочлен порядка $n$, кстати, полностью определяются своими значениями в фиксированных $n$ точках (многочлен Лагранжа) - тут даже и думать почти не надо
Вы гипнотизируете друг друга, что ли?

caxap в сообщении #472134 писал(а):
Во второй задаче базисом будут $n-1$ многочленов $x-1$, $x^2-1$, ..., $x^n-1$?
Посчитайте, сколько тут у Вас многочленов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Someone в сообщении #472142 писал(а):
Посчитайте, сколько тут у Вас многочленов.

Ой, извиняюсь :oops: Их $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 11:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Обе задачки -- на одну ту же тему. В обоих случаях искомое подпространство -- это ядро некоторого линейного функционала. Естественно, что его размерность равна просто размерности всего пространства минус единица, а чему же ещё-то. Зачем ещё базисы какие-то?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 12:43 


02/04/11
956
Someone
Бывает :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 13:07 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
ewert в сообщении #472148 писал(а):
Обе задачки -- на одну ту же тему. В обоих случаях искомое подпространство -- это ядро некоторого линейного функционала. Естественно, что его размерность равна просто размерности всего пространства минус единица, а чему же ещё-то. Зачем ещё базисы какие-то?...

Или еще более простым языком: поверхность определяется одним уравнением, значит размерности равна размерности пространства минус один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 13:13 


02/04/11
956
Padawan в сообщении #472165 писал(а):
Или еще более простым языком: поверхность определяется одним уравнением, значит размерности равна размерности пространства минус один.

С какого перепугу это вдруг проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 13:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kallikanzarid в сообщении #472168 писал(а):
С какого перепугу это вдруг проще?

Это действительно в некотором смысле проще (хотя и весьма неаккуратно сформулировано).

Проще в том отношении, что не требует понятия функционала (которое хотя и просто, но далеко не во всех курсах ЛА вводинся). Здесь ссылка на гораздо более общеупотребительный факт -- на то, что размерность пространства решений однородной системы есть коранг матрицы системы. А раз уравнение только одно, т.е. матрица состоит лишь из одной строки, то и её ранг равен единице. Собственно, на этом и основывается утверждение про ядро функционала. Т.е. ссылаться на функционал проще формально, но логически этот факт возникает позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.07.2011, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
ewert
Padawan
Спасибо.

ewert в сообщении #472148 писал(а):
Зачем ещё базисы какие-то?...

В задаче ещё требовалось базис найти, я просто не стал писать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group