2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение04.08.2011, 18:48 


15/12/05
754
В.О. в сообщении #473158 писал(а):
Теорема (?) Для любого доcтаточно большого целого числа можно найти показатель степени такой, что это число не является корнем уравнения Ферма с показателем степени $n$.


Такая теорема на форуме уже доказана, для $n$, которое в максимально оптимизированном виде - простое $p$.
Теорема: Великая Теорема Ферма не имеет целочисленных корней во всех абсолютно случаях, когда показатель степени - простое число $p$ больше половинки $x+y-z$.
Поэтому, "задумывая" достаточно большое целое число $x$ или $y$, всегда найдется $p$ > 1/2 от этого самого большого целого числа, при котором уравнение Ферма не будет иметь целочисленных корней, согласно данной теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 05:42 


12/09/06
617
Черноморск
ananova в сообщении #473501 писал(а):
Теорема: Великая Теорема Ферма не имеет целочисленных корней во всех абсолютно случаях, когда показатель степени - простое число больше половинки .

Звучит похоже, но сформулировано не очень аккуратно. Будет лучше, если Вы дадите ссылку на доказательство, а я попытаюсь разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 08:34 


15/12/05
754
В.О.

Да, пожалуй, не очень аккуратно. Вот так будет правильней (c привязкой к личности автора):

Теорема Вахтерова: Уравнение $x^p+y^p=z^p$ не имеет целочисленных решений, для $p> \frac {(x+y-z)} 2$, где p - простое число, больше 2, x, y, z - целые числа.

Доказательство и обсуждения - здесь: http://dxdy.ru/post295018.html#p295018
Сейчас, конечно, можно подредактировать и подсократить, но, в целом, доказательство достаточно легко проверяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 09:25 
Аватара пользователя


22/12/10
264
Как-то здесь «для» неуместно, кажется. Наверное, имеется ввиду «не имеет целочисленных решений, таких, что …»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 11:10 


15/12/05
754
Portnov

Вот так, аккуратней?

Теорема Вахтерова: Уравнение $x^p+y^p=z^p$ не имеет целочисленных решений, таких, что: $p> \frac {(x+y-z)} 2$, где p - простое число, больше 2; x, y, z - целые положительные числа.

Или так?

Теорема Вахтерова: Уравнение $x^p+y^p=z^p$ не имеет целочисленных решений, при следующих значениях неизвестных: $p> \frac {(x+y-z)} 2$, где p - простое число, больше 2; x, y, z - целые положительные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 15:42 


15/12/05
754
Справедливость теоремы следует из невозможности нарушения тождества:

$${x+y-z = 2pK}$$
и следующего из него:
$$p = {\dfrac {x+y-z} {2K}}$$$K$ - целое положительное число, кратное некоторым множителям $x, y, z$.

Важно! Если тождество не выполняется, то, следовательно, и основное уравнение Ферма не будет иметь целочисленных решений.

Нарушим тождество, изменив $p$ в сторону увеличения.

Пусть $p$: $$p > {\dfrac {x+y-z} {2K}}$$ В этом случае тождество не выполняется.

Тем более тождество не выполняется, при $p > {\dfrac {x+y-z} {2}}$, т.к.
$${\dfrac {x+y-z} {2}} > {\dfrac {x+y-z} {2K}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 19:59 


12/09/06
617
Черноморск
ananova
Неравенство для р написано неправильную сторону.
И непонятно, что такое К.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 20:42 


15/12/05
754
В.О. в сообщении #473717 писал(а):
ananova
Неравенство для р написано неправильную сторону.
И непонятно, что такое К.



По поводу $K$.
$2K$ равно кубическому корню из $(x+y)(z-x)(z-y)$ для $p=3$. Для $p=5$ - выражения более сложные.

По поводу неравенства.
Рассмотрим тождество $x+y-z=2pK$.
Подставим $n$ ($n=p+1$), вместо $p$ в рассматриваемое тождество.

Тождество нарушится.

$$n> p= \dfrac {x+y-z} {2K}$$

Если $n=(p+a+1)$, то, соответственно:$$n>(p+a)= \dfrac {x+y-z} {2}$$

Так что знаки неравенства поставлены в правильную сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение05.08.2011, 23:30 


12/09/06
617
Черноморск
Извините, все это выглядит как поток сознания не совместимый с математикой.
Но формулировка теоремы выглядит правдоподобно. Может быть кто-то сумеет все это подправить...но не я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение06.08.2011, 07:58 


15/12/05
754

(Оффтоп)

По-моему, любой новый раздел математики выглядит как поток сознания не совместимый с математикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение06.08.2011, 10:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
В.О. в сообщении #473755 писал(а):
Может быть кто-то сумеет все это подправить...но не я.

Посмотрите коротенькую заметку http://kvant.mirror1.mccme.ru/1991/02/m ... y_ferm.htm Там очень просто и ясно объясняется, почему справедливо более сильное утверждение: если $x$, $y$, $z$ --- натуральные числа, $p>3$ --- простое число, для которых $x^p+y^p=z^p$, то $x+y-z \geqslant 6p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение06.08.2011, 13:52 


12/09/06
617
Черноморск
nnosipov
Тут следовало бы задаться вопросом о точности, т.е. какой самый большой коэффициент перед р можно поставить в этом утверждении? Но после доказательства БТФ вся эта деятельность теряет смысл.
Хотя как знать. Может это понадобится для элементарного доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение06.08.2011, 19:13 


15/12/05
754
Если $x$ и $y$ - целые положительные числа, а $z$ - не целое число, то в вышеприведённом тождестве правая часть - не целое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение07.08.2011, 16:47 


12/09/06
617
Черноморск
Совсем просто доказывается следующее утверждение:
Если положительные числа $x,y,z$ удовлетворяют уравнению $x^n + y^n =z^n$ и $x=\max (x,y)$, то $n \leq \frac{\ln2} {\ln\frac z x}$
Д-во. Пусть неравенство в условии нарушается и $n \succ \frac{\ln2} {\ln\frac z x}$. Тогда
$0 = x^n + y^n  - z^n \leq 2x^n - z^n \prec 0$. Противоречие.
Здесь даже не нужно, чтобы числа были целыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не точно, так хоть приближенно?
Сообщение09.08.2011, 11:27 


15/12/05
754
А в чём противоречие, растолкуйте? У Вас $x>y$, правильно?
Т.е. 2x^n-z^n > 0...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group