2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 почему в учебниках не вводят корень отрицательной степени?
Сообщение10.07.2011, 11:53 


30/03/10
2
почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени


p.s.: я далеко не математик, может вопрос тупой)

 Профиль  
                  
 
 Re: корень отрицательной степени
Сообщение10.07.2011, 12:04 


14/04/11
521
И как бы вы его ввели?

 Профиль  
                  
 
 Re: корень отрицательной степени
Сообщение10.07.2011, 12:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8307
Можно. Наверное он просто сильно не нужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: корень отрицательной степени
Сообщение10.07.2011, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Есть же степени (любые вещественные и даже комплексные).

$\sqrt[a]{x}=x^{1/a}$, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: корень отрицательной степени
Сообщение11.07.2011, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5281
Москва
Потому, что извлечение корня это не самостоятельная операция, а частный случай возведения в степень. Выделенный отчасти из педагогических, отчасти из практических (составление таблиц для вычисления корней без использования логарифмов) соображений. Но когда установлено равенство, приведенное в предыдущем комментарии, то есть что корень степени a есть возведение в степень 1/a, то вводить корни отрицательных степеней становится слишком просто для педагогической пользы, а с практический - корень степени -a есть величина, обратная к корню степени a.
При желании можно и корень мнимой степени ввести. Чему, скажем, равен $\sqrt[i] i$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2011, 09:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1757
shevah school, tel-aviv
koljagm в сообщении #466931 писал(а):
почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени

Из исторических соображений корень $n$ - ой степени общепринято определять для натуральных $n\geq2$ и, когда $n=2$, показатель корня не писать.
С другой стороны, чёткое определение корня $n$ -ой степени даёт отличный полигон для обучения важным вещам (работа с взаимнообратными функциями, например).
Опять же, всё зависит от того, какова цель. Если цель - сдать ЕГЭ (или наш багрут), то можно определять (или не определять) как угодно, лишь бы сдать.
Если же цель - научиться правильному мышлению, то лучше определить, как общепринято.

 Профиль  
                  
 
 Re: корень отрицательной степени
Сообщение11.07.2011, 11:33 


23/01/07
3150
Новосибирск
koljagm в сообщении #466931 писал(а):
почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени


Наверное от того, что есть другие, более привычные формы записи:

$\sqrt[-n] x=x^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n] x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: корень отрицательной степени
Сообщение11.07.2011, 12:05 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
koljagm в сообщении #466931 писал(а):
почему в учебниках ничего не сказано про корень отрицательной степени, ведь можно ввести его так же совершенно как корень натуральной степени

А что такое вообще степень?...

В конце концов -- это такая операция $x^y$, что $x^{y+z}=x^y\cdot x^z$ (ну и там ещё кой-какие оговорки).

Изначально же $x^n$ для целых положительных $n$ определяется как повторное умножение.

А между этими двумя крайними позициями -- цепочка из нескольких логических переходов, одним из которых и является определение корня целочисленной положительной степени $x=\sqrt[n]{y}$ как функции, обратной к целой положительной степени $y=x^n$ и обозначение его как $y^{1\over n}$. Именно положительной, т.к. степени с отрицательными показателями выгоднее определять отдельно. Т.е. понятие корня не имеет особой самостоятельной математической ценности -- это лишь маленький кусочек некоторой конструкции.

Но после того, как понятие степени уже введено в полном объёме -- никто уже не в силах запретить обозначать $\sqrt[y]{x}\equiv x^{1\over y}$ для вообще произвольных $y\neq0$. Это не более чем вопрос выбора обозначений.

Правда, есть один формальный нюанс: часто принято считать, что, дескать, $\sqrt[3]x$ определён при всех иксах, в то время как $x^{1\over3}$ -- лишь при положительных. Но это сугубо школьный методический бздык, и сразу же после школы никто уже на это внимания не обращает.

 Профиль  
                  
 
 Re: почему в учебниках не вводят корень отрицательной степени?
Сообщение16.05.2016, 16:27 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Сообщение kisewal отделено в Пургаторий (М).
Причина переноса: потому что перенос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group