2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение24.06.2011, 12:05 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Добрый день. Стоит передо мной задача: из производящей функции совместного распределения двух величин $\xi_1, \xi_2$ нужно найти распределения этих величин. Потом найти мат. ожидания этих же величин. Функция выглядит вот так:
$$
F_{\xi_1,\xi_2}(z) = e^{\lambda\cdot(p_1z_1+p_2z_2+p_3z_2z_1-1)}
$$
Где $p_1+p_2+p_3 = 1, p_i >0$.
Если этот вопрос прост, что называется, "на уровне определения" - прошу меня извинить, сейчас у меня имеется доступ только к Интернету вместо книг, а оттуда ничего толкового, подходящего я не выудил. В таком случае слёзно прошу написать определение. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение24.06.2011, 13:02 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
В интернете есть книга Грехэм, Кнут, Поташник "Конкретная математика". В восьмой главе содержатся определения и всякме формулы для случая одномерной случайной величины. Если вы знакомы с определениями характеристик двухмерных случайных величин, то можно сообразить по аналогии, что означает производящая функция двух с.в. и как получить производящие функции отдельно для $\xi_1$ и $\xi_2$. А матожидание находится затем по формуле, которая там есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 00:18 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Да, спасибо, в книге это есть.
Тогда проблема кроется в другом: какие ещё свойства совместного распределения величин нужно знать, чтобы решить задачу?
Вообще это моя главная проблема в теорвере: я не понимаю, в чём разница, например, между двумерным распределением и совместным распределением величин?

-- Пт июл 01, 2011 01:41:33 --

И подходит ли условие этой задачи под определение "сумма двух случайных величин"?
Просто нашел формулу для производящей функции суммы независимых случайных величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 01:25 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Вернее, вопрос нужно уточнить. Как из производящей функции совместного распределения величин $\xi_1$ и $\xi_2$ получить функцию совместного распределения этих величин?
То есть из $F_{\xi_1 \xi_2}(z) = e^{\lambda\cdot(p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)}$ получить функцию их совместного распределения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 03:15 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Все, разобрался (не без вашей помощи;) )
Решение выглядит так: чтобы найти производящие функции величин $\xi_1$ и $\xi_2$ отдельно, используя производящую функцию их совместного распределения $F_{\xi_1\xi_2}(z_1, z_2)$, сделаем так:
$$F_{\xi_1}(z) = F_{\xi_1\xi_2}(z_1, 1)$$
$$F_{\xi_2}(z) = F_{\xi_1\xi_2}(1, z_2)$$
Это сообщение для будущих поколений :)

P.S. Правильно, надеюсь??

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 05:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Очевидно правильно, просто по определению. Только бы ещё запятые между $\xi_1$ и $\xi_2$ поставить: $F_{\xi_1,\,\xi_2}(\ldots)$.

А распределения-то $\xi_1$ и $\xi_2$ нашлись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 14:07 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Производящей функции недостаточно для "задания распределения"? В таком случае нужно выразить функции распределения из производящих функций каждой величины, ну или плотности выразить.. Не знаю, как это сделать, но думаю, что информацию найду уж. Вопрос только - нужно ли это делать? П.ф. ведь однозначно задает распределение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 16:00 


23/12/07
1757
--mS-- в сообщении #463872 писал(а):
Очевидно правильно, просто по определению.

Вроде ж по определению производящая функция моментов случайного вектора $  (\xi_1,\xi_2)$ равна $\phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1,z_2) = \mathbf{E}e^{z_1 \xi_1 + z_2 \xi_2}$. Поэтому должно быть $\phi_{\xi_1}(z_1) = \phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1, 0)$. Разве нет?

farewe11 в сообщении #463967 писал(а):
Производящей функции недостаточно для "задания распределения"?

Если производящая функция моментов определена для всех $z = i t, t\in\mathbb{R}$, то точно достаточно, ибо задает характеристическую функцию: $\varphi_{\xi_1,\xi_2}(t_1,t_2) = \phi_{\xi_1,\xi_2}(i t_1,i t_2) $, а та, в свою очередь однозначно задает распределение.

Или всюду речь о производящей функции дискретного распределения? Если последнее, то тогда найти распределение не проблема - разложите в степенной ряд - коэффициенты и будут значениями вероятностей (см. определение производящей функции дискретного распределения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 16:31 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  farewe11

не надо дублировать темы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение01.07.2011, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
_hum_ в сообщении #464002 писал(а):
Вроде ж по определению производящая функция моментов случайного вектора $  (\xi_1,\xi_2)$ равна $\phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1,z_2) = \mathbf{E}e^{z_1 \xi_1 + z_2 \xi_2}$. Поэтому должно быть $\phi_{\xi_1}(z_1) = \phi_{\xi_1,\xi_2}(z_1, 0)$. Разве нет?

П.ф.м. тут ни при чём. Производящая функция есть $\mathsf Ez^\xi$, для пары с.в., соответственно, $\mathsf Ez_1^{\xi_1}z_2^{\xi_2}$.

-- Пт июл 01, 2011 22:20:50 --

farewe11 в сообщении #463967 писал(а):
Производящей функции недостаточно для "задания распределения"?

Тому, кто может найти распределение по п.ф. - достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 15:41 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Кстати, встала проблема одна. Используя найденную производящую функцию, я нахожу матожидание, дисперсию (того требует задача), теперь надо найти $cov(\xi_1,\xi_1)$.Вот и не знаю, как это сделать. $M((\xi_1-M(\xi_1))(\xi_2-M(\xi_2)))$ хотел бы применить, но столкнулся с проблемой: что имеется в виду под $\xi_1-M(\xi_1)$? Из чего-чего нужно вычесть матожидание $\xi_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464708 писал(а):
Из чего-чего нужно вычесть матожидание $\xi_1$?

Из $\xi_1$, разумеется. В чём состоит вопрос? Раскройте скобки и выразите ковариацию через смешанный момент и частные моменты. Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 16:46 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Раскрыть скобки? Вот что выйдет:
$$M(\xi_1\xi_2 - \xi_1\cdot M(\xi_2) - \xi_2\cdot M(\xi_1) + M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)) = M(\xi_1\xi_2) - M(\xi_2\cdot M(\xi_1)) - M(\xi_1\cdot M(\xi_2)) + M(M(\xi_1)\cdot M(\xi_2))$$
Так.. Что-то совсем неясное получилось. Не могу понять, что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464731 писал(а):
Не могу понять, что делать.

Попробуйте изучить свойства математического ожидания. В любом учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 17:46 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Ну, $M(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)$, это понятно. А вот матожидание матожидания - что-то новенькое.. Ни в Гмурмане, ни в Кнуте этого не нашел. Единственный вариант - что так раскрывать скобки, как делал я - не нужно... Тогда вернемся к началу, распишем матожидание произведения как произведение матожиданий:
$$M(\xi_1 - M(\xi_1)) \cdot M(\xi_2 - M(\xi_2))$$
Всё одно - неясно. Что я упускаю? )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group