2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464751 писал(а):
Ну, $M(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)$, это понятно.

Это может и понятно, но неверно. См. совет выше. Что до остальных непоняток, то математическое ожидание - это число такое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 21:13 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
--mS-- в сообщении #464758 писал(а):
farewe11 в сообщении #464751 писал(а):
Ну, $M(\xi_1 \xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)$, это понятно.

Это может и понятно, но неверно.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. (Гмурман)
Что ж неверно-то??)

Цитата:
Что до остальных непоняток, то математическое ожидание - это число такое.

Ну да, так и есть. Математическое ожидание случайной величины - это я запросто посчитаю. А вот математическое ожидание математического ожидания - это не по зубам. А Вы загадками говорите. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464840 писал(а):
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. (Гмурман)
Что ж неверно-то??)

У Вас независимые случайные величины? Какой смысл тогда вычислять их ковариацию, если она нулевая по определению?
farewe11 в сообщении #464840 писал(а):
Ну да, так и есть. Математическое ожидание случайной величины - это я запросто посчитаю. А вот математическое ожидание математического ожидания числа - это не по зубам. А Вы загадками говорите. :)

Исправление моё.
Я не говорю загадками. Предполагается, что человек, добравшийся до производящих функций, знает более простой материал. В частности, знает свойства математических ожиданий, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции. Вы почему-то хотите без этого обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 23:07 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Цитата:
У Вас независимые случайные величины? Какой смысл тогда вычислять их ковариацию, если она нулевая по определению?

Вряд ли, конечно. Хотя про зависимость/независимость в условии ничего не сказано...
Цитата:
В частности, знает свойства математических ожиданий, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции. Вы почему-то хотите без этого обойтись.

Да нет, почему же. Свойства математического ожидания, дисперсии знаю уж, ковариации - изучаю сейчас.. Просто я не могу представить, что от меня хотят. Думаю пока...

-- Пн июл 04, 2011 00:28:40 --

Нарыл тут в книге такую формулу:
$$cov(\xi_1,\xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2) + M(\xi_1 \xi_2)$$
Очень удобно. И снова, как всегда, вопрос видоизменился до неузнаваемости: как найти $M(\xi_1 \xi_2)$, когда известны математические ожидания величин по отдельности?
Пока писал это, понял, что "ну и дурак же я". У меня же в задаче есть двойная производящая функция. Используя её, можно без труда найти $M(\xi_1,\xi_2)$.
Верно это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение03.07.2011, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464878 писал(а):
Цитата:
У Вас независимые случайные величины? Какой смысл тогда вычислять их ковариацию, если она нулевая по определению?

Вряд ли, конечно. Хотя про зависимость/независимость в условии ничего не сказано...

Это был риторический вопрос... Если бы Вы знали свойства матожиданий (а с ними - производящих функций), то зависимость случайных величин была бы Вам очевидна исходя из самого вида двойной п.ф., которая не раскладывается в произведение одинарных.

farewe11 в сообщении #464878 писал(а):
Нарыл тут в книге такую формулу:
$$cov(\xi_1,\xi_2) = M(\xi_1)\cdot M(\xi_2) + M(\xi_1 \xi_2)$$
Очень удобно.

Нисколько не удобно, потому что эта формула неверна. Воспользуйтесь свойствами матожидания и закончите преобразования, которые Вы начали в формуле для ковариации.

farewe11 в сообщении #464878 писал(а):
У меня же в задаче есть двойная производящая функция. Используя её, можно без труда найти $M(\xi_1,\xi_2)$.
Верно это?

(Оффтоп)

Я, конечно, понимаю, что Вы то и дело опечатываетесь. Но то, что Вы своих опечаток не видите, есть очень тяжёлый симптом... Матожидание вектора есть вектор из матожиданий, и для его поиска не нужна двойная п.ф.


--mS-- в сообщении #464721 писал(а):
Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.


-- Пн июл 04, 2011 03:49:08 --

И выбросьте уже Гмурмана, возьмите нормальный учебник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 00:20 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Тогда я продолжу преобразования для ковариации, вооружившись Феллером.
Прочитал свойства матожиданий, дисперсии, ковариаций, действительно, ковариация независимых величин равна нулю. Но ничего нового пока не обнаружил. Продолжим:
$$M(\xi_1\xi_2 - \xi_1\cdot M(\xi_2) - \xi_2\cdot M(\xi_1) + M(\xi_1)\cdot M(\xi_2)) = M(\xi_1\xi_2) - M(\xi_2\cdot M(\xi_1)) - M(\xi_1\cdot M(\xi_2)) + M(M(\xi_1)\cdot M(\xi_2))$$
Это дело равно:
$$M(\xi_1\xi_2) - 2M(\xi_1)M(\xi_2) + M(\xi_1)M(\xi_2) = M(\xi_1\xi_2) - M(\xi_1)M(\xi_2) $$
Это я использовал свойства: константу можно вынести, и матожидание константы равно самой константе.
Замечательно же получилось! Одна старая проблема решена, осталась вторая, более новая. Матожидание произведения. Подскажите хоть, используя что, можно вычислить эту величину... ?

-- Пн июл 04, 2011 01:22:41 --

(Оффтоп)

Как видите, стараюсь учиться на своих ошибках. Ничто не давалось мне настолько тяжело, как теорвер, всё-таки...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464902 писал(а):
Замечательно же получилось! Одна старая проблема решена, осталась вторая, более новая. Матожидание произведения. Подскажите хоть, используя что, можно вычислить эту величину... ?

Хм...
--mS-- в сообщении #464887 писал(а):
--mS-- в сообщении #464721 писал(а):
Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.

Меня слышно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 01:30 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Слышно, конечно. Надо использовать смешанные моменты для решения этой.. проблемки. Сейчас поднаберу информации из книги, и выдам, наконец (надеюсь), решение.

-- Пн июл 04, 2011 02:42:51 --

--mS-- в сообщении #464721 писал(а):
В чём состоит вопрос? Раскройте скобки и выразите ковариацию через смешанный момент и частные моменты. Смешанный момент ищется так же, как и частные, только те - по одномерным производящим функциям, а смешанный - по двойной.


Вы имели в виду раскрыть скобки именно так, как это я сделал? Или как-то по-другому? В своём способе просто я не вижу способа представить $M(\xi_1\xi_2)$ в виде момента..

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 06:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464925 писал(а):
Слышно, конечно. Надо использовать смешанные моменты для решения этой.. проблемки.
....
В своём способе просто я не вижу способа представить $M(\xi_1\xi_2)$ в виде момента..

Я уже боюсь самые простые слова употреблять... Это математическое ожидание и есть момент. Как и любое математическое ожидание. Называют все математические ожидания так. Причем это, в отличие от математических ожиданий одной случайной величины (частных) и есть смешанный момент.

Покажите, как Вы из производящей функции $\varphi(z) = \mathsf M z^{\xi_1}$ нашли $\mathsf M\xi_1$. Объясните, почему так. Потом скажите, как из $\varphi(z_1, z_2) = \mathsf M z_1^{\xi_1}z_2^{\xi_2}$ получить $\mathsf M\xi_1\xi_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 06:31 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Уже подумал и нашёл. Продифференциировал двойную п.ф. по $z_1$ и $z_2$, и подставил $1$ и $1$. Верное решение?
Кстати, при таком раскладе, я довел вычисления до конца, ковариация-таки получилась равной нулю..

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 06:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464935 писал(а):
Уже подумал и нашёл. Продифференциировал двойную п.ф. по $z_1$ и $z_2$, и подставил $1$ и $1$. Верное решение?

Решения пока не вижу. Судя по ответу (а ковариация тут не могла получиться нулевой), продифференцировали Вы неверно. На всякий случай, $(uv)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime$, знаете такую формулу? При дифференцировании по $z_2$ она неминуемо должна была понадобиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 07:00 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
То ли в Феллере, то ли в Кнуте запомнилась такая фраза, что и у зависимых величин может быть нулевая ковариация..
Но давайте проверим. Да уж знаю такую формулу :)
Дана $F_{\xi_1 \xi_2}(z) = e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)}$
Дифференциируем по $z_1$:
$$
dF_{\xi_1 \xi_2}(z) / dz_1 = e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot \lambda (p_1+p_3)
$$
Теперь по $z_2$.. Черт. Формулы производной от произведения что-то не видать тут, а значит, что-то я неправильно делаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 07:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464943 писал(а):
То ли в Феллере, то ли в Кнуте запомнилась такая фраза, что и у зависимых величин может быть нулевая ковариация..

Может. Но не у этих. Нулевая ковариация зависимых величин обычно всего возникает как результат какой-то симметрии распределений - как какого-то из частных, так и совместного. Здесь все распределения - это распределения чисто положительных (пуассоновских) величин, причём неограниченных справа (но ограниченных слева), поэтому добиться нулевой ковариации IMHO невозможно, если не сделать их независимыми.
farewe11 в сообщении #464943 писал(а):
Дифференциируем по $z_1$:
$$
dF_{\xi_1 \xi_2}(z) / dz_1 = e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot \lambda (p_1+p_3)
$$

Неправильно продифференцировали... См. множитель при $p_3$. Куда $z_2$ делось?

Ох, батенька :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 07:30 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Да, и вправду. Все-таки 17 часов за компьютером без перерывов даром не прошли.
Тогда производная по $z_1$ будет равняться такому вот:
$$e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot \lambda (p_1 + p_3z_2)$$
А если еще и попытаться по $z_2$ продифференциировать, то будет следующее:
$$\lambda e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)}\cdot (p_1 + p_3z_2)(p_2 + p_3z_1) + \lambda e^{\lambda (p_1z_1+p_2z_2+p_3z_1z_2-1)} \cdot p_3$$
Осталось подставить единицы вместо всех буковок $z$...
$$\lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3$$
Это значение $M(\xi_1 \xi_2)$.
Ковариация равна $cov(\xi_1 \xi_2) = \lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - (p_1+p_3)(p_2+p_3)$

-- Пн июл 04, 2011 08:35:24 --

(Оффтоп)

Огромное спасибо, за проявленное терпение. Я бы так не смог, наверно.. :)Побежал в универ, будь что будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорвер. Двойная производ. функция. Выразить распределения
Сообщение04.07.2011, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
farewe11 в сообщении #464949 писал(а):
Ковариация равна $cov(\xi_1 \xi_2) = \lambda (p_1+p_3)(p_2+p_3) + \lambda p_3 - (p_1+p_3)(p_2+p_3)$

-- Пн июл 04, 2011 08:35:24 --

(Оффтоп)

Огромное спасибо, за проявленное терпение. Я бы так не смог, наверно.. :)Побежал в универ, будь что будет.

Стойте!!! :mrgreen: Матожидания вычислили неверно, куда дели лямбды?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group