2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Минимальный многочлен.
Сообщение08.11.2006, 21:19 


30/06/06
313
Найти минимальный многочлен элемента $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ над полем $\mathbb{Q}$, то есть найти многочлен минимальной степени с коэффициентами из поля $\mathbb{Q}$ такой,
что $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ является его корнем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 21:36 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Записать $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, выразить отсюда $\sqrt{2}$ через $x$ и $\sqrt{3}$, возвести в квадрат, затем выразить $\sqrt{3}$ как многочлен от $x$ и еще раз возвести в квадрат. Получится искомый многочлен 4-й степени.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 21:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
$(x-\sqrt 2 -\sqrt 3 )(x-\sqrt 2 +\sqrt 3)(x+\sqrt 2 -\sqrt 3)(x+\sqrt 2 +\sqrt 3 )=x^4-10x^2+1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Еще бы доказать, что этот многочлен-минимальный.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 23:36 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Достаточно доказать, что полином неприводим над $\mathbb{Q}$. Линейных делителей у него нет, а из разложения $x^4-10x^2+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ следует, что $a+c=0$ и $ad+bc=0$ и $bd=1$, откуда $x^4-10x^2+1=(x^2+ax\pm 1)(x^2-ax\pm 1)=x^4+(\pm 2 - a^2)x^2+1,$ что не имеет решений для $a$ в рациональных числах.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
maxal писал(а):
...$x^4-10x^2+1=(x^2+ax+1)(x^2-ax+1)=x^2+(2-a^2)x^2+1,$ что не имеет решений для $a$ в рациональных числах.

Наверное, (x^2+ax+1)(x^2-ax+1)=x^4+(2-a^2)x^2+1,$ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 23:51 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Конечно, исправлено.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2006, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Или другими словами: как намекнул своим решением Руст, \sqrt{2}+\sqrt{3} имеет четыре разных значения, и если одно из них является корнем многочлена с рац. коэфф., то и остальные обязаны, а значит, степень меньше четвёртой не выйдет никак.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group