2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение13.06.2011, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Нет. Почему плотность длины хорды зависит не от длины, а от угла?

farewe11 в сообщении #457522 писал(а):
Вернее, отрезок $(-1;1)$, на котором изменяется $l$.
Нет. Вы по чертежу не видите, что длина хорды изменяется от 0 до 2?

farewe11 в сообщении #457522 писал(а):
Только всё дело в том, что у меня нет понятия, как найти функцию сразу.
А определение функции распределения случайной величины Вы знаете?

P.S. У Вас неудачные обозначения, провоцирующие путаницу, поскольку плотность различных случайных величин Вы обозначаете одинаково. Удобно индексом указывать случайную величину: $p_X(x)$ и т.п..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 01:00 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Цитата:
Почему плотность длины хорды зависит не от длины, а от угла?

Вы имеете в виду, что надо выразить угол через длину и подставить это выражение в выражение для плотности $l$? Это можно сделать. Сейчас, только попытаюсь у Вас же уточнить - можно ли проще сделать. :)
Цитата:
А определение функции распределения случайной величины Вы знаете?

Конечно. Общее определение: $F(x)$ - это вероятность того, что случайная величина $X$ примет при испытании значение, меньшее, чем $x$. Всё-таки одного определения мне мало, чтобы понять всю эту систему, подскажите, пожалуйста, как всё-таки найти эту функцию?
Если подумать: наиболее высокая плотность распределения длины хорды - в районе точки $(-1;0)$, то есть при малых углах $\alpha$. А по моей формуле плотности, чем меньше $\alpha$, тем плотность... меньше. Явно ошибка.
Направьте, пожалуйста, в правильную сторону. Голова совсем уже не соображает просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
farewe11 в сообщении #457755 писал(а):
Вы имеете в виду, что надо выразить угол через длину и подставить это выражение в выражение для плотности $l$?
В Ваше выражение нет смысла подставлять, оно неправильное.

farewe11 в сообщении #457755 писал(а):
Общее определение: $F(x)$ - это вероятность того, что случайная величина $X$ примет при испытании значение, меньшее, чем $x$.
То есть, $F_X(x)=\mathrm P(X<x)$.
Так вот, нам задана случайная величина $\mathrm A$ (угол, равномерно распределённый на промежутке $\left[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right]$) с функцией распределения ... Какая там функция распределения-то? $$F_{\mathrm A}(\alpha)=\begin{cases}.....\text{ при }\alpha\leqslant-\frac{\pi}2,\\.....\text{ при }-\frac{\pi}2<\alpha\leqslant\frac{\pi}2,\\.....\text{ при }\alpha>\frac{\pi}2.\end{cases}$$ Длина хорды, соответствующая углу $\alpha$, как Вы сами написали, равна $l=2\cos\alpha$, поэтому мы имеем случайную величину $L=2\cos\mathrm A$. И нам требуется найти её функцию распределения $$F_L(l)=\mathrn P(L<l)=P(2\cos\mathrm A<l)=\ldots$$ Выразите это через $F_{\mathrm A}$, и всё получится. Не забывайте, что множество возможных значений $L$ - промежуток $[0,2]$, поэтому результат должен быть записан в виде $$F_L(l)=\begin{cases}.....\text{ при }l\leqslant 0,\\.....\text{ при }0<l\leqslant 2,\\.....\text{ при }l>2.\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 01:37 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Отлично, спасибо! В принципе, понял даже! :)

Цитата:
Какая там функция распределения-то?

Вот такая:
$F(\alpha) = 0$, при $\alpha\notin[-\frac\pi2;\frac\pi2]$
А для $\alpha\in[-\frac\pi2;\frac\pi2]$ функция распределения равна
$\int\limits_{-\infty}^{\alpha}\frac1\pi$ (ну, насколько я помню, интеграл от плотности распределения величины.)
Боюсь написать глупость, но, по-моему, этот интеграл расходится..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 01:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
farewe11 в сообщении #457763 писал(а):
$F(\alpha) = 0$, при $\alpha\notin[-\frac\pi2;\frac\pi2]$
Неверно. Используйте для набора формулы шаблон, который я специально сделал в предыдущем сообщении (и запомните, как это пишется)), и не забывайте в индексе указывать случайную величину, к которой относится функция распределения или плотность вероятности, иначе ничего, кроме путаницы, не получится.

farewe11 в сообщении #457763 писал(а):
$\int\limits_{-\infty}^{\alpha}\frac1\pi$ (ну, насколько я помню, интеграл от плотности распределения величины.)
Господи, ну какой там интеграл... Пусть даже и интеграл, но не такой же. И вычислить его надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 02:01 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Кстати, почему неверно, что $F_A(\alpha) = 0$ для $\alpha\leqslant -\frac\pi2$? Ведь вероятность того, что наш угол окажется еще меньшим - равна нулю...
Да и про интеграл: я хочу найти функцию по определению: Функция распределения равняется интегралу от плотности. А плотность $p(\alpha) = \frac1\pi$. Что ж неправильного? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 02:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
farewe11 в сообщении #457770 писал(а):
Кстати, почему неверно, что $F_A(\alpha) = 0$ для $\alpha\leqslant -\frac\pi2$?
Это верно, но ведь Вы прошлый раз написали не так.

farewe11 в сообщении #457770 писал(а):
Да и про интеграл: я хочу найти функцию по определению: Функция распределения равняется интегралу от плотности. А плотность $p(\alpha) = \frac1\pi$. Что ж неправильного?
Интеграл написан неправильно (где $d\,\alpha$?), да и плотность вероятности не при всех $\alpha$ равна $\frac 1{\pi}$.

(Оффтоп)

Ладно, я пошёл спать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 03:53 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
$$F_{\mathrm A}(\alpha)=\begin{cases}0\text{ при }\alpha\leqslant-\frac{\pi}2,\\\frac\alpha\pi+\frac12\text{ при }-\frac{\pi}2<\alpha\leqslant\frac{\pi}2,\\1\text{ при }\alpha>\frac{\pi}2.\end{cases}$$
К такому выводу я пришел.
Теперь же я могу частично написать функцию распределения искомую:
$$F_{\mathrm A}(\alpha)=\begin{cases}0\text{ при }l\leqslant0,\\???\text{ при }0<l\leqslant2,\\1\text{ при }l>2.\end{cases}$$
Осталось выяснить, что же должно быть на месте знаков вопроса.
$$F_L(l) = P(L<l) = P(2\cdot\cos A < 2\cdot\cos\alpha) = P(\cos A < \cos\alpha) = P(A>\alpha)$$, так, что ль?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 08:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Нет. Откуда взялось какое-то $\alpha$?
Someone в сообщении #457762 писал(а):
$$F_L(l)=\mathrn P(L<l)=P(2\cos\mathrm A<l)=\ldots$$
И тригонометрическое неравенство нужно решить правильно. С учётом области значений $\mathrm A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 11:30 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Цитата:
Откуда взялось какое-то $\alpha$?

У нас же $l$ выражается выражением $2\cdot\cos\alpha$.
Вот это выражения я сюда и подставил: $\dotsP(2\cdot\cos A < l)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
farewe11 в сообщении #457861 писал(а):
У нас же $l$ выражается выражением $2\cdot\cos\alpha$.
Мало ли что оно где-то когда-то так выражалось. В этом месте - нет, потому что самого $\alpha$ нет.
Решайте тригонометрическое неравенство. Если не помните формулы, нарисуйте на тригонометрическом круге или на графике.

-- Вт июн 14, 2011 14:14:40 --

Кстати, неравенство $\cos\mathrm A<\cos\alpha$ имеет не такое решение, какое Вы написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 20:24 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Нарисуем на круге:
$$2\cdot\cos A < l; A\in [-\frac\pi2;\frac\pi2]$$
$$A>\arccos\frac l2$$
Вроде так.
Надо найти вероятность теперь этого события - то и будет искомая функция распределения. Кстати, я тут попробовал решить другим способом, ответ получился: $$F_L(l) = \frac1\pi\cdot\arccos\frac l2$$ при $l\in[0;2]$
Решал старым путем наибольшего сопротивления: находил плотность распределения длины хорды, используя формулу $|(f^{-1}(l))'|\cdot p_A(\alpha)$... Верно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
farewe11 в сообщении #458080 писал(а):
$$A>\arccos\frac l2$$
Нет. Попробуйте нарисовать график косинуса на отрезке $\left[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right]$ и посмотреть, где будет $\cos\mathfrak A<\frac l2$. Там два промежутка должны получиться.

farewe11 в сообщении #458080 писал(а):
$$F_L(l) = \frac1\pi\cdot\arccos\frac l2$$
Неправильно. Это убывающая функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 21:36 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Ааа, вот: $A\in [-\frac\pi2; -arccos\frac l2]\bigcup[arccos\frac l2; \frac\pi2]$ (в кои-то веки я перестал писать глупости, или не? ) :)
Надо найти вероятность того, что $A$ принадлежит хоть одному из этих промежутков и умножить на $2$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию распределения случайной величины
Сообщение14.06.2011, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Надо не умножать на два, а сложить вероятности попадания в эти промежутки. Всё выражается через $F_{\mathrm A}(\alpha)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group