Копилки с монетами

[Xenia1996]

2013 копилок с монетами расставлены в один ряд. В каждой копилке натуральное число монет в сегменте $[1, 1000]$. Число монет в любых двух соседних копилках отличается ровно на 1. Общее число монет во всех копилках чётно.
Всегда ли можно разбить множество этих копилок (сами копилки разбивать нельзя, добавлять туда монеты тоже нельзя) на два непустых непересекающихся подмножества с одинаковым числом монет?

[worm2]

Красивого решения не вижу, тупое в лоб выглядит примерно так:
Собираем копилки парами по порядку, сортируя те, в которых больше монет влево, остальные — вправо. Повторяем этот процесс столько раз, сколько монет в самой последней (2013-й) копилке. Потом добавляем эту копилку вправо. Получилось два множества с одинаковым числом монет + чётное число нераспределённых копилок, всё ещё удовлетворяющее условию. Снова добавляем их парами, теперь чередуя избыточные копилки (помещая их то влево, то вправо). В конце концов у нас получится 2 множества, в которых число монет отличается не более, чем на 1. По условию общее число монет чётно, а значит получившееся разбиение и есть искомое.

Кстати, не вижу причин, почему 2013 нельзя заменить на 2011...

[Xenia1996]

worm2 в сообщении #456785 писал(а):

Кстати, не вижу причин, почему 2013 нельзя заменить на 2011...

Если Вы думаете, что можно, приведите, пожалуйста, хотя бы набросок доказательства.
Ведь 2010 не делится на 4.

-- Сб июн 11, 2011 15:43:11 --

worm2 в сообщении #456785 писал(а):

Кстати, не вижу причин, почему 2013 нельзя заменить на 2011...

Ага! Теперь поняла, почему. Просто я решала не так, как Вы, и моё решение годится только для $4n+1$.