2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.10.2013, 07:47 


31/12/10
1334
vicvolf в сообщении #776887 писал(а):
На n-ом шаге добавляется отрезок $(p^2_{n-1}, p^2_n)$, поэтому простая группа может добавиться именно на этом интервале.

Но может и не добавляться ??

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.10.2013, 10:06 


23/02/12
1562
vorvalm в сообщении #777451 писал(а):
vicvolf в сообщении #776887 писал(а):
На n-ом шаге добавляется отрезок $(p^2_{n-1}, p^2_n)$, поэтому простая группа может добавиться именно на этом интервале.

Но может и не добавляться ??

Если добавиться, то именно на этом интервале!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.10.2013, 10:20 


31/12/10
1334
vicvolf в сообщении #777481 писал(а):
Если добавиться, то именно на этом интервале!

Значит, совершенно не обязательно, чтобы группы появлялись в этом интервале при каждом шаге?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.10.2013, 15:05 


23/02/12
1562
vorvalm в сообщении #777487 писал(а):
vicvolf в сообщении #777481 писал(а):
Если добавиться, то именно на этом интервале!

Значит, совершенно не обязательно, чтобы группы появлялись в этом интервале при каждом шаге?

Извините. Я уже писал об этом несколько раз и в разных темах. Мне надоело повторять одно и тоже много раз!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение20.10.2013, 16:22 


31/12/10
1334
Спасибо, конечно извиняю.
И вы меня извините, т.к. я рассчитывал всего лишь на простой ответ: да или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение25.10.2013, 09:43 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Джеймс Мэйнард на конференции в Обервольфахе заявил, что ему удалось доказать, что существует бесконечное количество простых чисел с разностью меньше 700. Скоро препринт будет опубликован. Некоторые детали тут:

http://terrytao.wordpress.com/2013/10/1 ... ent-248898

http://blogs.ethz.ch/kowalski/2013/10/2 ... de-lannee/

Судя по всему его доказательство существенно отличается от Чжана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение25.10.2013, 11:55 


31/12/10
1334
Nilenbert
Спасибо. Здесь надо внимательно разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.12.2013, 10:55 


31/12/10
1334
Интервал ($p^2_{n-1},p^2_n$), в дальнейшем $Ip^2$, входящий в интервал $Ip$ ПСВ,
не может быть критерием оценки числа различных групп вычетов, существующих в ПСВ.
Элементарная статистика показывает, что число таких групп как (2,4),(2,4,2),(2,4,2,4,)(4,2,4,2,4)
в этих интервалах может быть равна 0.

$Ip^2$ (2,4) (2,4,2) (2,4,2,4) (4,2,4,2,4)
2
3 ___ 0 ___ 0 _____ 0 ______ 0
5 ___ 2 ___ 1 _____ 1 ______ 1
7 ___ 1 ___ 0 _____ 0 ______ 0
11___2 ___ 1 _____ 1 ______ 1
13___0 ___ 0 _____ 0 ______ 0
17___2 ___ 1 _____ 0 ______ 0
19___2 ___ 0 _____ 0 ______ 0
23___1 ___ 0 _____ 0 ______ 0
29___1 ___ 1 _____ 0 ______ 0
31___2 ___ 0 _____ 0 ______ 0
37___3 ___ 0 _____ 0 ______ 0
41___4 ___ 1 _____ 1 ______ 1
43___0 ___ 0 _____ 0 ______ 0
47___3 ___ 2 _____ 0 ______ 0
53___4 ___ 0 _____ 0 ______ 0
59___2 ___ 2 _____ 0 ______ 0
61___2 ___ 0 _____ 0 ______ 0

Очередные группы (2,4,2,4) и (4,2,4,2,4) появятся только при $M=113\#$.
Но мы не знаем что будет и с близнецами при дальнейшем увеличении $p_n.$
А если их число конечно? Поэтому, критерием бесконечности этих групп в натуральном ряду
является наличие хотя бы одной группы не в интервале $Ip^2$, но в интервале $Ip.$
Это доказывается элементарно.
Если предположить, что число указанных групп конечно,
то при определенном модуле в ПСВ(М) и в последующих их не будет.
Но мы знаем, что такие группы, состоящие из взаимно простых вычетов,
существуют в любой ПСВ. И если мы докажем, что одна такая группа
все-таки есть в любом интервале Ip, т.е. среди простых чисел,
то это опровергает наше начальное предположение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.12.2013, 11:47 


23/02/12
1562
vorvalm в сообщении #805410 писал(а):
Поэтому, критерием бесконечности этих групп в натуральном ряду является наличие хотя бы одной группы не в интервале $Ip^2$, но в интервале $Ip.$

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение24.12.2013, 12:40 


31/12/10
1334
Почему?
vorvalm в сообщении #805410 писал(а):
Если предположить, что число указанных групп конечно,
то при определенном модуле в ПСВ(М) и в последующих их не будет.
Но мы знаем, что такие группы, состоящие из взаимно простых вычетов,
существуют в любой ПСВ. И если мы докажем, что одна такая группа
все-таки есть в любом интервале Ip, т.е. среди простых чисел,
то это опровергает наше начальное предположение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение26.05.2014, 17:49 


31/12/10
1334
Теорема. Число пар простых чисел с разностью $d=4$
в натуральном ряду бесконечно.
Доказательство. Если у близнецов большее число из класса $6k+1$, то у
пар с разностью 4 большее число из класса $6k-1$.
Рассмотрим эти пары в ПСВ по модулю $M=p\#$ на интервале ($1/2M,3/2M$)
Такое расположение вычетов можно получить из ПСВ по модулю М
с минимальными по абсолютной величине вычетами, т.е.

$(-1/2M) -p_{r+1}^2,...-p_t,...-p_{r+1},\;-1,(M)+1,\;p_{r+1},...p_t,...p^2_{r+1}(+1/2M)$

Увеличив все вычеты этой ПСВ на величину модуля, получим ПСВ$(1/2M,3/2M)$,
которая необходима для того, чтобы иметь дело с натуральными вычетами.

Допустим, что число простых пар с разностью $d=4$ в ПСВ конечно. Тогда при
определенном достаточно большом модуле в ПСВ(М) и в последующих
таких пар не будет. Но пары вычетов с разностью $d=4$ существуют в
любой ПСВ в количестве $\varphi_2(M)=\prod_3^p(p-2)$. состоящих
из взаимно простых и смешанных вычетов.
Создадим группу из двух пар вычетов с разностью $d=4$ и общей разностью
между крайними вычетами группы $2p_t,\;(p_{r+1}<p_t<p^2_{r+1})$
Это натуральная группа

$(M-p_t,M-p_t+4,M+p_t-4,M+p_t)$ в ПСВ$(1/2M,3/2M)$ или

$(-p_t,\;-p_t+4,\;+p_t-4,\;+p_t)$ в ПСВ($-1/2M,+1/2M$) или

приведенная группа ($0,\;4,\;2p_t-4,\;2p_t$)

Определяем, существуют ли такие группы вычетов в ПСВ(М)
Для этого находим критерий существования групп в ПСВ (проходимость)

$K(p)=p+m(p)-n>0$ где

$p$- простое число, по которому можно сравнивать вычеты. $(p\mid M)$
$m(p)$- число сравнимых вычетов по модулю $p.$
$n$- число вычетов в группе.

Т.к. $n=4,$ то нам надо проверить проходимость только по модулю $p=3,$ т.к.
проходимости по модулям $p>3$ будут $>0.$
Определяем все возможные сравнения вычетов группы $D[4].$ (приведенной)

1) $0,2p_t-4$ и $4,2p_t.$ Два сравнения с модулем $2p_t-4=2(p_t-2)$.
Т.к. $p_t=6k-1,$ то модуль равен $2(6k-3),\;m(3)=2.\;K(3)=3+2-4=1.$.
2) $4,2p_t-4$ - модуль $2p_t-8=2(p_t-4)$, где $(p_t-4)$ вычет ПСВ взаимно
простой с модулем $M$, т.е. $K(p)=1.$
3) $0,2p_t$ - модуль $2p_t,\;p_t$ - вычет ПСВ, $K(p)=1.$
4) $0,4$ и $2p_t-4,2p_t$ - модуль $4,\;K(p)=1.$
По модулю $p=2,\;K(2)=1,$ т.к. $m(2)=n-1.$

Итак, группа $D[4]$ существует в любой ПСВ. Остается доказать, что число
таких групп в ПСВ нечетное.
Число групп типа $D[4]$ в ПСВ определяется формулой $A_4\varphi_4(M)=A_4\prod_5^p(p-4)$.
Функции $\varphi_4(M),\;\varphi_4(p)$ нечетные. Коэффициент $A_4=\prod K(p)/\varphi_4(p)$, где
проходимость $K(p)$ - нечетная при четных $m(p)$ и $n.$ В нашем случае $m(3)=2,\;n=4.$
Следовательно, число групп $D[4]$ в ПСВ нечетное. Это означает, что одна
группа $D[4]$ находится в центре ПСВ(1/2M,3/2M) или в ПСВ(-1/2M,+1/2M),
т.е. среди простых чисел.
Наше первоначальное предположение неверно. Число пар с $d=4$ бесконечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение26.01.2015, 12:32 


31/12/10
1334
Бесконечность последовательной разности простых чисел $p_{n+1}=p_n+6.$

Разность $d=6$ будем рассматривать в составе группы вычетов (6,2,6). Обособленно
выделить эту разность не удается, т.к. она может быть группой вычетов (2,4) и (4,2).
Приведенная группа с разностями (6,2,6)
$d[4]=(0,6,8,14)$
Особенности таких групп.
1) Вычет группы $p=6k+1.$
2) Натуральные группы $D[4]$ имеют первый вычет $10x+3$.
последний вычет $10x+17.$

Создадим группу вычетов из двух групп $D[4]$ с общей разностью $2p$.
Это приведенная группа $H[8]=(0,6,8,14,2p-14,2p-8,2p-6,2p)$


Определяем проходимость этой группы, для чего необходимо найти все возможные сравнения
вычетов данной группы. Рутинные вычисления опускаем и приводим сводный перечень сравнений .
В числители - модули, в знаменателе - их число.

$(p-11)/2,\;(p-10)/2,\;(p-7)/4,\;(p-4)/2,\;(p-3)/2,\;2/2,\;6/4,\;8/4,\;14/2.$

Непарные модули сравнений вычетов $p,\;(p-6),\;(p-8),\;(p-14)$ - вычеты ПСВ
взаимно простые с модулем М и проходимость для них $K(p)=1.$


Проходимость по простым модулям $K(p)=p+m(p)-n>0$, где
$m(p)$ - число вычетов группы, сравнимых по модулю $p,\;(p\mid M)$
$n$ - число вычетов в группе.

$p=3,\;K(3)=3+m(3)-8.$ Т.к. $p=6k+1,$ то имеем 4 модуля 6 и два модуля $(p-4)$,
т.е. $m(3)=6,\;K(3)=3+6-8=1$

$p=5,\;K(5)=5+m(5)-8.$ Т.к. $p=10x+17,$ то имеем 4 модуля $(p-7),$
т.е. $m(5)=4,\;K(5)=5+4-8=1.$

$p=7,\;K(7)=7+m(7)-8.$ Имеем два модуля 14, т.е. $m(7)=2,\;k(7)=1.$

При $p>7,\;k(p)>0.$

Учет других модулей увеличивает величину $K(p)$, но оставляет это число нечетным
из-за парности модулей сравнения.
Группа $H[8]$ существует в любой ПСВ при $M>30.$
Остается доказать, что число таких групп в ПСВ нечетное.
Число групп $H[8]$ определяется формулой $A_8\varphi_8(M)$.
Функции $\varphi_8(M)$ и $\varphi_8(p)$ нечетные. Коэффициент $A_8=\prod_p K(p)/\varphi_8(p).$
Проходимость $K(p)$ нечетная при четных $m(p)$ и $n$. В нашем случае
$m(p)$ по всем модулям четная и $n=8.$ Число групп $H[8]$ нечетное.
В ПСВ(-1/2M,+1/2M) одна такая группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение26.01.2015, 22:35 


23/02/12
1562
vorvalm в сообщении #968538 писал(а):
В ПСВ(-1/2M,+1/2M) одна такая группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел.

А где доказательство, что при изменении $M$ каждый раз будет новая группа. Ведь если группы повторяются, то их может быть конечное количество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.01.2015, 10:15 


31/12/10
1334
vicvolf в сообщении #968888 писал(а):
А где доказательство, что при изменении $M$ каждый раз будет новая группа. Ведь если группы повторяются, то их может быть конечное количество.

Требование появления новых групп вычетов в интервале $(p_{r+1},p^2_{r+1})$ при каждом
увеличении модуля ПСВ является избыточным.
Если в интервале $(p_{r+1},p^2_{r+1})$ при любом модуле присутствует хоть одна
исследуемая группа вычетов, то это означает, что как бы далеко мы не брали модуль ПСВ,
в указанном интервале всегда есть такая группа вычетов, независимо от того, повторяется она
из модуля в модуль или появляется новая.
Повторяющиеся группы долго существовать в интервале $(p_{r+1},p^2_{r+1})$ не могут
и при достижении $M=p_k\#$, где $p_k$ минимальный вычет группы, эта
группа выходит за нижний предел указанного интервала.
Эти группы, оставаясь среди простых чисел, уже не входят в число таких групп в ПСВ и формула
$A_n\varphi_n(M)$ их не учитывает, но показывает, что число таких групп с ростом модуля увеличивается
и при нечетном их числе одна группа всегда будет в интервале ($p_{r+1},p^2_{r+1}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение29.01.2015, 12:16 


23/02/12
1562
Ранее в теме, после длительного обсуждения со мной, Вы пришли к выводу:
vorvalm в сообщении #776392 писал(а):
Я пытался доказать бесконечность таких групп, используя наработанный метод
(близнецы, триплеты и т.п.), но это мне не удалось. И это естественно, т.к.
на интервалах Ip при $M\geqslant 97\#$ их нет.
Видно надо применять что-то новое.

Где же это новое? Пока я вижу только старое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 511 ]  На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group