2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение11.06.2011, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
nnosipov в сообщении #456607 писал(а):
любое конечное поле $F$ содержит в качестве подполя одно (и ровно одно) из полей $\mathbb{F}_p$ ($p$ --- это характеристика $F$).

Я довольно смутно себе представляю "абстрактные" поля $\mathbb F_n$. Но, думаю, достаточно взять в $\mathbb F_n$ подгруппу $\langle 1\rangle=\{0,1,2,\ldots,p-1\}$, где $2:=1+1$, $3:=1+1+1$ и т. д., а $p:=\operatorname{char}\mathbb F_n$. Она будет подполем (есть 0, 1, замкнуто относительно сложения и умножения), т. е. $\langle 1\rangle=\mathbb F_p$. $p$ простое, т. к. иначе $p=ab=0$, т. е. есть делители нуля, а значит $\mathbb F_p$ не поле. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение11.06.2011, 20:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
caxap в сообщении #456904 писал(а):
nnosipov в сообщении #456607 писал(а):
любое конечное поле $F$ содержит в качестве подполя одно (и ровно одно) из полей $\mathbb{F}_p$ ($p$ --- это характеристика $F$).

Я довольно смутно себе представляю "абстрактные" поля $\mathbb F_n$. Но, думаю, достаточно взять в $\mathbb F_n$ подгруппу $\langle 1\rangle=\{0,1,2,\ldots,p-1\}$, где $2:=1+1$, $3:=1+1+1$ и т. д., а $p:=\operatorname{char}\mathbb F_n$. Она будет подполем (есть 0, 1, замкнуто относительно сложения и умножения), т. е. $\langle 1\rangle=\mathbb F_p$. $p$ простое, т. к. иначе $p=ab=0$, т. е. есть делители нуля, а значит $\mathbb F_p$ не поле. Так?

Да.
Лучше сразу наперед узнать, что $\mathbb{F}_n = \mathbb{F}_{p^r} \cong \mathbb{Z}_p [x]/(g(x))$, где $g(x)$ - неприводимый многочлен над $\mathbb{Z}_p$ степени $r$. Соответственно, все элементы имеют вид $a_{r-1}x^{r-1}+...+r_0, r_0 \in \mathbb{Z}_p$. Есть и другие способы представления элементов этих полей. Подробнее - в книжке Лидл Нидеррайтер Конечные поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение11.06.2011, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Сенкью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение11.06.2011, 21:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
caxap в сообщении #456636 писал(а):
А можно как нибудь доказать $(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}$ по простому и средствами алгебры?

Всё-таки совсем просто, наверное, не получится. Рассуждение с помощью леммы Гаусса мне кажется достаточно простым. Есть ещё рассуждение по Золотарёву, в котором больше алгебры, но здесь придётся весь квадратичный закон взаимности доказывать (и не только для символа Лежандра, но и для символа Якоби), см., например, статью Прасолова в "Мат. просвещении", 4-й выпуск. В целом, вычислить $(2/p)$ существенно сложнее, чем $(-1/p)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение11.06.2011, 21:23 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Вычисление $\left( \frac{2}{p} \right)$ с помощью леммы Гаусса есть и в Бухшатбе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group